задача-1.ipynb

{
 "cells": [
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "<center>\n",
    "РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ\n",
    "    \n",
    "    Факультет физико-математических и естественных наук\n",
    "\n",
    "## Кафедра прикладной информатики и теории вероятносте\n",
    "</center>\n",
    "\n",
    "## Практическая работа № 2\n",
    "«Анализ систем массового обслуживания»\n",
    "По дисциплинам:\n",
    "\n",
    "«Основы математической теории телетрафика» <div style=\"text-align: right\"> Учебная группа НКИ-3 </div>\t\t\t\t\t\n",
    "Баллы: 15 баллов"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "**Задача 1** (6 баллов). Для второй модели Эрланга (СМО    M/M/v/r) с интенсивностью входящего потока $\\mu$ и интенсивностью обслуживания $\\lambda$\n",
    "\n",
    "1. Найти v по заданному среднему времени $v$ пребывания в системе принятого в систему требования.\n",
    "\n",
    "$\\lambda$=4  $\\;$     $\\mu$=1   $\\;$   r=3   $\\;$   v=1.063352"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 1,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "r   = 3\n",
    "l   = 4\n",
    "mu  = 1\n",
    "v   = 1.063352\n",
    "rho = l / mu   \n",
    "    "
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Стационарная вероятность того, что в системе находится 0 заявок c $x$ мест ожидания.:"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 2,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "def p0(x):\n",
    "    a = rho**x / fact(x)\n",
    "    b = (rho/x)**(r+1) - 1 \n",
    "    c = rho / x - 1\n",
    "    return 1 / (sum([rho**i / fact(i) for i in range(x)]) + a * b / c)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Факториал n:"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 3,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "def fact(n):\n",
    "    r = 1\n",
    "    for i in range(1, n+1): \n",
    "        r = r * i\n",
    "    return r"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Стационарная вероятность того, что в системе находится $i$ заявок c $x$ мест ожидания."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 4,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "def p(i, x):\n",
    "    if i < x:\n",
    "        return rho**i / fact(i) * p0(x)\n",
    "    return rho**i / (x**(i - x) * fact(x)) * p0(x)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Cтационарное среднее время ожидания начала обслуживания, где\n",
    "x - число мест ожидания."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 5,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "def w(x):\n",
    "    a = p(x, x) / (1 - p(x + r, x))\n",
    "    b = x*mu - (rho/x)**r * (x*mu*(r + 1) - r*l)\n",
    "    c = (l - x*mu)**2\n",
    "    return a * b / c"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Стационарное среднее время пребывания в системе, где\n",
    "x - число мест ожидания."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 6,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "def f(x):\n",
    "    return w(x) + 1 / mu"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 7,
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "name": "stdout",
     "output_type": "stream",
     "text": [
      "Ответ: 6\n"
     ]
    }
   ],
   "source": [
    "def norm(x):\n",
    "    return abs(f(x) - v)\n",
    "\n",
    "res = [norm(x) if x != 4 else float(\"nan\") for x in range(1, 50)]\n",
    "val, idx = min((val, idx) for (idx, val) in enumerate(res))\n",
    "t = idx + 1\n",
    "print(\"Ответ:\", t)\n",
    "    "
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 8,
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "data": {
      "text/plain": [
       "1.0633520809898762"
      ]
     },
     "execution_count": 8,
     "metadata": {},
     "output_type": "execute_result"
    }
   ],
   "source": [
    "f(t)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "2. Вычислить следующие стационарные характеристики обслуживания (4 балла):"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "а) вероятность потери $\\pi$. "
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 9,
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "name": "stdout",
     "output_type": "stream",
     "text": [
      "Ответ: 0.029800794493837587\n"
     ]
    }
   ],
   "source": [
    "print(\"Ответ:\", p(t + r, t))"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "б) вероятность немедленного обслуживания $\\beta$ ;"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 10,
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "name": "stdout",
     "output_type": "stream",
     "text": [
      "0.7578685447375698\n"
     ]
    }
   ],
   "source": [
    "print(sum([p(i, t) for i in range(0, t)]))"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "в) математическое ожидание и дисперсию длины очереди;"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 11,
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "name": "stdout",
     "output_type": "stream",
     "text": [
      "математическое ожидание длины очереди: 0.2458565545741601\n",
      "дисперсия длины очереди              : 0.4536182595916215\n"
     ]
    }
   ],
   "source": [
    "expected = sum([(i - t) * p(i, t) for i in range(t,  t + r + 1)])\n",
    "print(\"математическое ожидание длины очереди:\", expected)\n",
    "\n",
    "expected_2 = sum([(i - t)**2 * p(i, t) for i in range(t,  t + r + 1)])\n",
    "variance = expected_2 - expected**2\n",
    "print(\"дисперсия длины очереди              :\", variance)\n",
    "                 "
   ]
  }
 ],
 "metadata": {
  "kernelspec": {
   "display_name": "Python 3",
   "language": "python",
   "name": "python3"
  },
  "language_info": {
   "codemirror_mode": {
    "name": "ipython",
    "version": 3
   },
   "file_extension": ".py",
   "mimetype": "text/x-python",
   "name": "python",
   "nbconvert_exporter": "python",
   "pygments_lexer": "ipython3",
   "version": "3.8.5"
  }
 },
 "nbformat": 4,
 "nbformat_minor": 4
}