susceptibility-tensor-imaging.ipynb

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 "cells": [
  {
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   "metadata": {},
   "source": [
    "* [Susceptibility Tensor Imaging](https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC2990786/pdf/nihms215739.pdf) by Chunlei Liu"
   ]
  },
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    "$$B = (I - \\sigma I + \\frac{1}{3}\\chi)(H + h)$$"
   ]
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   "source": [
    "$$\n",
    "\\vec\\nabla\\cdot \\vec B = 0;\\vec\\nabla\\cdot \\vec H = 0\n",
    "$$"
   ]
  },
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   "source": [
    "$$\n",
    "\\vec\\nabla\\cdot \\vec B = \\vec\\nabla\\cdot\\left((I - \\sigma I + \\frac{1}{3}\\chi)(H + h)\\right)\n",
    "$$"
   ]
  },
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   "source": [
    "$$\n",
    "=\\vec\\nabla\\cdot(I\\cdot H - \\sigma I\\cdot H + \\frac{1}{3}\\chi\\cdot H\n",
    "+I\\cdot h - \\sigma I\\cdot h + \\frac{1}{3}\\chi\\cdot h)\n",
    "$$"
   ]
  },
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   "source": [
    "Beim folgenden Schritt wurden alle Terme die $\\vec\\nabla\\cdot \\vec H$ enthalten null gesetzt. Zudem gebe ich explizit die $\\vec x$ Abhängigkeiten an, z.B. $\\chi = \\chi(\\vec x)$:"
   ]
  },
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   "source": [
    "$$\n",
    "= \\vec\\nabla\\cdot(\\frac{1}{3}\\chi(\\vec x)\\cdot\\vec H(\\vec x)) + (1-\\sigma)\\vec\\nabla\\cdot\\vec h(\\vec x) + \\vec\\nabla\\cdot(\\frac{1}{3}\\chi(\\vec x)\\cdot\\vec h(\\vec x))\n",
    "$$"
   ]
  },
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   "source": [
    "Beim obigen Schritt wurden alle Terme die $\\vec\\nabla\\cdot \\vec H$ enthalten null gesetzt."
   ]
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    "$$\n",
    "\\frac{1}{3}\\partial_i\\chi^i_jH^j+(1-\\sigma)\\partial_i h^i +\\frac{1}{3}\\partial_i\\chi^i_jh^j\n",
    "$$"
   ]
  },
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    "Konkret ausgeschrieben für $\\partial_1\\chi^1_jH^j$ beduetet das:"
   ]
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   "source": [
    "$$\n",
    "\\partial_1(\\chi^1_1 H^1 + \\chi^1_2 H^2 + \\chi^1_3 H^3) =\n",
    "(\\partial_1\\chi^1_1) H^1 + \\chi^1_1(\\partial_1 H^1) +\n",
    "(\\partial_1\\chi^1_2) H^2 + \\chi^1_2(\\partial_1 H^2) +\n",
    "(\\partial_1\\chi^1_3) H^3 + \\chi^1_3(\\partial_1 H^3)\n",
    "$$"
   ]
  },
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   "source": [
    "$$\n",
    "= (\\partial_1\\chi^1_1) H^1 + (\\partial_1\\chi^1_2) H^2 + (\\partial_1\\chi^1_3) H^3 +\n",
    "\\chi^1_1(\\partial_1 H^1) + \\chi^1_2(\\partial_1 H^2) + \\chi^1_3(\\partial_1 H^3)\n",
    "$$"
   ]
  },
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    "Für alle Komponenten bedeutet das dann:"
   ]
  },
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   "source": [
    "$$\\partial_i\\chi^i_jH^j = (\\partial_i \\chi^i_j)H^j + \\chi^i_j(\\partial_i H^j)$$"
   ]
  },
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   "source": [
    "Indices unten sind jeweils für [kovariante](https://de.wikipedia.org/wiki/Tensor#Ko-_und_Kontravarianz_von_Vektoren) Vektoren bzw. [linearformen](https://de.wikipedia.org/wiki/Linearform). Indices oben sind jeweils für [kontravariante](https://de.wikipedia.org/wiki/Tensor#Ko-_und_Kontravarianz_von_Vektoren) Vektoren."
   ]
  },
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   "source": [
    "Durch Vergleich mit Wikipedia [Divergenz von Tensoren zweiter Stufe](https://de.wikipedia.org/wiki/Divergenz_eines_Vektorfeldes#Im_n-dimensionalen_Raum_2) lerne ich, dass der zweite Teil der Gleichung: $\\chi^i_j(\\partial_i H^j)$ [Frobenius-Skalarprodukt](https://de.wikipedia.org/wiki/Frobenius-Skalarprodukt) heißt und mit einem \"$:$\" symbolisiert wird, wobei links und rechts von dem Geteiltzeichen zwei Matrizen stehen."
   ]
  },
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    "Nun zurück zur eigentlichen Gleichung:"
   ]
  },
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   "source": [
    "$$\n",
    "\\frac{1}{3}\\partial_i\\chi^i_jH^j+(1-\\sigma)\\partial_i h^i +\\frac{1}{3}\\partial_i\\chi^i_jh^j=\n",
    "\\frac{1}{3}[\\mathrm{div}(\\chi)\\cdot\\vec H+\\chi^T:\\mathrm{grad}\\vec H]+(1-\\sigma)\\mathrm{div}(\\vec h)+\n",
    "\\frac{1}{3}[\\mathrm{div}(\\chi)\\cdot\\vec h+\\chi^T:\\mathrm{grad}\\vec h]\n",
    "$$"
   ]
  },
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   "source": [
    "Wie nun aber hieraus die gleichung \\[6\\] aus [Susceptibility Tensor Imaging](https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC2990786/pdf/nihms215739.pdf) folgen soll ist mir unklar (wie rechtfertige ich das $\\approx$ in folgender Gleichung?):"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "$$\n",
    "\\frac{1}{3}[\\mathrm{div}(\\chi)\\cdot\\vec H+\\chi^T:\\mathrm{grad}\\vec H]+(1-\\sigma)\\mathrm{div}(\\vec h)+\n",
    "\\frac{1}{3}[\\mathrm{div}(\\chi)\\cdot\\vec h+\\chi^T:\\mathrm{grad}\\vec h]\\approx\n",
    "\\mathrm{div}(\\chi)\\cdot\\vec H + \\mathrm{div}(\\vec h) = 0\n",
    "$$"
   ]
  }
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   "language": "python",
   "name": "python3"
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