St. Petersbourg: Paradoxe de Saint-Pétersbourg

St. Petersbourg.ipynb

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      "# [Jeu de Saint-Petersbourg](https://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_de_Saint-P%C3%A9tersbourg)\n",
      "On commence avec une mise de 1\u20ac. On lance une pi\u00e8ce: \n",
      "\n",
      " * Si on tombe sur pile, on double la mise et on recommence\n",
      " * Sinon, on arr\u00eate et on remporte la mise actuelle\n",
      " \n",
      "### Quelle est l'esp\u00e9rance de gain \u00e0 ce jeu ?\n",
      "\n",
      "$$ \\sum_{i=0}^{i=\\infty} \\frac{2^i}{2^{i+1}} = \\sum_{i=0}^{i=\\infty} \\frac{1}{2} = \\infty $$\n",
      "\n",
      "L'esp\u00e9rence du gain est infinie."
     ]
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      "    mise = 1\n",
      "    while random.choice((True, False)):\n",
      "        mise *= 2\n",
      "    return mise"
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      "def n_experiences(n):\n",
      "    \"\"\"Joue n fois au jeu, et retourne notre gain total.\"\"\"\n",
      "    return sum(lancer() for i in range(n))/n"
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      "Que se passe-t-il si on joue un million de fois au jeu ?"
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      "### Mince!\n",
      "On \u00e9tait cens\u00e9s gagner une somme d\u2019argent infinie, en moyenne !\n",
      "\n",
      "Et nous n\u2019avons gagn\u00e9 \u00abque\u00bb une dizaine d\u2019euros par lancer en moyenne sur un million de lancer...\n",
      "\n",
      "### Pourquoi ?\n",
      "Essayons de comprendre pourquoi en calculant la probabilit\u00e9 $p_s$ de gagner une somme sup\u00e9rieure ou \u00e9gale \u00e0 $s$ apr\u00e8s un tirage.\n",
      "\n",
      "Pour gagner une somme sup\u00e9rieure ou \u00e9gale \u00e0 $2^n$ \u20ac, il faut tirer pile plus de $n$ fois de suite, ce qui arrive avec une probabilit\u00e9 de\n",
      "$ \\prod_{i=0}^{i=n} \\frac{1}{2} = \\frac 1 {2^n} $.\n",
      "\n",
      "Donc $$ p_s = \\frac 1 {2^{\\lceil \\log_2{s} \\rceil }} $$\n",
      "\n",
      "Par exemple, pour gagner 100\u20ac, il faut tirer pile sept fois de suite ($\\lceil \\log_2{100} \\rceil = 7$). Cela nous donne une probabilit\u00e9 de gagner plus de 100\u20ac de:"
     ]
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      "def p(s):\n",
      "    return 1/2**math.ceil(math.log2(s))\n",
      "\n",
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      "Moins de 1% de chance..."
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