モナドは単なるなんとやら

monad.hs

{-# LANGUAGE TypeOperators #-}

-- a
class Monoid' m where
  -- 非カリー化
  append :: (m, m) -> m
  -- m と () -> m は同一視できる
  empty  ::     () -> m
-- 型 ((), m) と m と (m, ()) は同一視できる
-- 型 ((l, m), n) と (l, (m, n)) は同一視できる
--
-- 以下を満たす必要がある
-- ((m , m) , m) --append-> (m, m) --append-> m と
-- (m , (m , m)) --append-> (m, m) --append-> m が同じ
--
-- m --id-> m と
-- ((), m) --empty-> (m, m) --append-> m と
-- (m, ()) --empty-> (m, m) --append-> m が同じ

type (f :. g) x = f (g x)
type Id x = x
-- join と unit (return) による定義
-- 上のモノイドの定義とそっくり
class Functor m => Monad' m where
  -- m :. m -> m
  join :: (m :. m) a -> m a
  --     Id -> m
  unit ::       Id a -> m a
-- (Id :. m) a = (m :. Id) a = m a
-- ((l :. m) :. n) a = (l :. (m :. n)) a -- Haskellではこれは正しくない型
--
-- 以下を満たす必要がある
-- (m :. m) :. m --  join   -> m :. m --join-> m と
-- m :. (m :. m) --fmap join-> m :. m --join-> m が同じ
--
-- m --id-> m と
-- Id :. m --  unit   -> m :. m --join-> m と
-- m :. Id --fmap unit-> m :. m --join-> m が同じ
--
-- および
-- Id a --unit-> m a
--  |             |
-- id f        fmap f
--  |             |
--  v             v
-- Id b --unit-> m b
--
-- (m :. m) a --join-> m a
--     |                |
-- fmap (fmap f)     fmap f
--     |                |
--     v                v
-- (m :. m) b --join-> m b