obzor.tex

\newpage
\section{Обзор литературы.}

Современные технологии лазерной техники позволяют создавать лазерные пучки высокой интенсивности ($\sim 10^{16} - 10^{18}$ Вт/м$^2$) для формирования интерференционной решетки двух встречных электромагнитных волн. Помещенный в поле оптической решетки газ поляризуемых частиц под действием градиентной (дипольной) силы может изменять локальное распределение плотности, среднюю скорость движения и температуру. Исследования показывают, что использование оптических потенциалов возможно для управления отдельными атомами (например, в ультрахолодных газах \cite{blochNature}), ускорения частиц в молекулярных пучках до скоростей порядка км/с \cite{Kazantsev1973}, охлаждение групп молекул \cite{BarkShn2002} и сепарация газовых смесей \cite{ShevIvan2009}. Важными направлениями применения оптических решеток является быстрое изменение скорости молекул и атомов, температуры газовых потоков \cite{GraulGimHeating} и неинтрузивная диагностика газа \cite{Grinstead2000},\cite{ShnCBRS}. Все это делает оптические решетки крайне важным объектом экспериментального и численного исследования. В работах \cite{ShnBarkGimReview},\cite{dong2005} содержится один из наиболее полных обзоров современных исследований взаимодействия оптических решеток с газами.

\subsection{Теория нерезонансного взаимодействия частиц с оптическими решетками}

\subsubsection{Частицы в движущихся оптических решетках}

\hspace{0.5cm} Частицы газа, находящиеся в поле оптической решетки $U(x) = \frac{1}{2} \alpha E^2$ с заданной глубиной потенциала, движущейся с ненулевой скоростью $\xi$, захватываются и ускоряется под действием внешней силы, тем самым создавая отличную от начальной, ненулевую направленную скорость газового потока. Рассмотрим движение отдельной частицы в периодическом потенциале в зависимости от начальной координаты и импульса частицы. Приведенное решение уравнений движения для случая постоянной скорости решетки приведено, например, в работе \cite{ShevDiser}.

Уравнение движение частицы в поле оптической решетки \eqref{eq:particMove} может быть приведено в безразмерный вид заменами $ \ \hat{\omega}= q \sqrt{\alpha E_1 E_2 / 2m} $, $ \ \delta V = \sqrt{2 \alpha E_1 E_2 /m}$.

\begin{equation}\label{eq:particMove}
m \ddot x = - \frac{\partial U}{\partial x} = - \frac{\alpha q E_1 E_2}{2} sin(qx - q \xi t)
\end{equation}

В этом случае размерные величины имеют понятные физические значения: $\hat{\omega}$ описывает характерную частоту колебаний в потенциале, $\delta V$ - скорость, соответствующая глубине потенциала оптического захвата. Тогда безразмерное дифференциальное уравнение движения второго порядка можно записать в виде системы двух уравнений первого порядка \eqref{eq:dimlessParticMove}.

\begin{equation}\label{eq:dimlessParticMove}
\frac{d \theta(\tau)}{d \tau} = \eta (\tau), \ \frac{d \eta (\tau)}{d \tau} = -sin(\theta(\tau))
\end{equation}

Здесь использованы следующие обозначения:
\begin{equation}\label{eq:dimlessParticMoveExpl}
\begin{split}
& \theta = q (x - \xi t), \\
& \eta = 2 \dot x / \delta V, \\
& \tau = t \hat{\omega}
\end{split}
\end{equation}

Решение такой системы описывает колебания маятника \cite{Hazewinkel} и существует \cite{Fedoruk} в виде эллипитических функций Якоби; введем дополнительные параметры, удобные в описании уравнений движения: энергия молекулы $E = T + U = \eta ^2 /2 - cos(\theta) = const$, параметр $N^2 = \frac{E+1}{2}$. Тогда при заданных начальных условиях $(\theta,\eta) |_{\tau = 0} = (\theta_0, \eta_0)$ интеграл движения имеет вид \eqref{eq:intDynam}. Знак перед $\tau$ определяется направлением начальной скорости частицы.

\begin{equation}\label{eq:intDynam}
 \int_{\theta_0}^{\theta} \frac{d\theta}{\sqrt{2E+2cos\theta}} = sgn(\eta_0)\tau \Longleftrightarrow  \int_{\theta_0}^{\theta} \frac{d\theta}{2\sqrt{2N^2-sin^2(\frac{\theta}{2})}} = \pm \tau
\end{equation}

Анализ и решение уравнение движения делается для двух случаев - ''захваченное'' и ''свободное'' движение частиц в поле. В первом случае частицы, попавшие в потенциальную яму, имеют энергию недостаточную, чтобы покинуть её и двигаются между стенками потенциала, оставаясь внутри. В ином случае, энергии частицы хватает, чтобы, попадая в узлы потенциала оптической решетки, покидать ее и продолжать движения, не изменяя направление скорости.

\textit{Случай 1}. ''Захваченное'' движение частиц, $N \leq 1$.

Заменой $N sin(\theta/2) = sin(\varsigma)$ интеграл \eqref{eq:intDynam} сводится к \eqref{eq:intTrapped}, начальная амплитуда выбирается равной $\varsigma_0 = arcsin(\frac{sin(\theta/2)}{2})$. 

\begin{equation}\label{eq:intTrapped}
\int_{\theta_0}^{\theta} \frac{d\varsigma}{\sqrt{1-N^2 sin^2(\varsigma)}} = \pm \tau
\end{equation}

Искомое решение $\theta(\tau)$ выражается через эллиптический интеграл первого рода $F(\theta, N)$ \cite{Bobylev}. Подставим для этого представление $\theta$ в виде суммы $\psi \in [-\pi, \pi]$ и $\pi S$, где $S$ - целое число. Тогда, используя свойство эллиптического интеграла 	$F(\theta + \pi S, N) = F(\theta,N) + 2SF(\pi/2,N)$, найдем $\psi$ и $S$ в виде \eqref{eq:intTrapSol}.

\begin{equation}\label{eq:intTrapSol}
\begin{split}
& \psi = arcsin[ sn(\tau sgn(\eta_0) + \varphi - 2sF(\pi/2,N), N) ], \\& 
S = \left[  \frac{\tau sgn(\eta_0) + \varphi}{2F(\pi/2,N)} + 1/2 \right] 
\end{split}
\end{equation}

Начальная амплитуда $\varsigma_0$ определяет параметр $\varphi = F(\varsigma_0, N)$. Безразмерная скорость частицы $\eta$ задается выражением $\eta = 2N cn(\tau sgn(\eta_0)+\varphi-2SF(\pi/2,N), N)$.

\textit{Случай 2}. ''Свободное'' движение частиц, $N > 1$.
Аналогично случаю 1, нам предстоит сделать замену $\varsigma = \theta /2$, тогда интеграл движения сводится к виду \eqref{eq:intFree}.

\begin{equation}\label{eq:intFree}
\int_{\theta_0}^{\theta} \frac{d\varsigma}{\sqrt{1-sin(\varsigma)/N^2}} = \pm \tau N
\end{equation}

Решение выглядит следующим образом:

\begin{equation}\label{eq:intFreeSol}
\begin{split}
& \psi = arcsin[ sn(N\tau sgn(\eta_0) , 1/N) ], \\& 
S = \left[  \frac{N\tau sgn(\eta_0) + \varphi}{2F(\pi/2,N)} + 1/2 \right] 
\end{split}
\end{equation}

Безразмерная скорость частицы $\eta$ задается выражением $\eta = 2N sgn(\eta_0) \sqrt{1 - \frac{sin^2(\varsigma)}{N^2}}$.

Рассмотрим фазовый портер системы \eqref{eq:dimlessParticMove}, представленный на рис. \ref{fig:phasePortr}. Как было сказано ранее, такая система дифференциальных  уравнений описывает движение математического маятника. При определенных начальных условиях, движение может быть замкнутым и свободным.

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=250px]{phasePortr}
\caption{Фазовый портрет движения частицы в поле оптической решетки.}
\label{fig:phasePortr}
\end{figure}

С физической точки зрения, замкнутое движение частицы происходит в случае, если полная энергия меньше максимальной потенциальной энергии решетки $\frac{m \dot{x}^2}{2} + U(x,t) < \frac{\alpha E_1 E_2}{2}$, что эквивалентно $E < 1$ суть $N < 1$ в безразмерном виде. Частица совершает колебательные движения в потенциальной яме, и её средняя скорость равна $\xi$. Инфинитное движение частицы описывает второй случай, когда энергии частицы достаточно, чтобы вылететь из потенциала решетки, т.е. $N > 1$, частица не меняет направления своей скорости. При энергии, много большей энергии потенциала, частица практически не испытывает влияния со стороны оптической решетки.

\subsubsection{Частицы в ускоряющихся оптических решетках}

\hspace{0.5cm} Теоретическое описание движения частиц газа при оптическом захвате, приведенное ранее, описывает лишь случай постоянной скорости оптической решетки $\xi = const$. В случае, если частота одного из лазеров модулирована, и разность частот $\Delta \omega = \omega_1 - \omega_2$ зависит от времени, например, по линейному закону $\beta = \frac{d}{dt}\omega(t)$, необходимо проводить дополнительный анализ поведения частицы в поле решетки с меняющейся скоростью $\xi = \beta t / q$, где $q = |\textbf{k}_1+\textbf{k}_2|$ - волновой вектор оптической решетки считается постоянным, несмотря на изменяющуюся частоту излучения. Решение данной задачи, приведенное ниже, подробно описано в \cite{barker2001}, в предположении, что оптические поля достаточно далеки от резонанса, соответственно действующая сила гармоническая \cite{metcalf}.

Уравнение движения в ускоряющемся потенциале можно записать в виде \eqref{eq:partDynamAccel} и далее перейти к следующим безразмерным величинам: $T = \sqrt{\beta} t$ и $X = qx$ - безразмерные время и координата, амплитуда ускорения со стороны периодического потенциала $a = \frac{\alpha q E_1 E_2}{2m}$.

\begin{equation}\label{eq:partDynamAccel}
m \ddot x = - \frac{\partial U}{\partial x} = - \frac{\alpha q E_1 E_2}{2} sin(qx - \beta t^2)
\end{equation}

Тогда новая переменная $\Theta = X - T^2$, задающая фазу частицы по отношению к ускоряющейся решетке, определяется из дифференциального уравнения \eqref{eq:partDynamAccelDimless}.

\begin{equation}\label{eq:partDynamAccelDimless}
\ddot \Theta = - \frac{a q}{\beta} sin(\Theta) - 2
\end{equation}

Уравнение движения с изменяющейся скоростью решетки отличается от случая с постоянной скоростью наличием свободного члена (в выбранных безразмерных единицах он равен $-2$). Аналогично более простому случаю, построим фазовый портрет системы, перейдя к двум дифференциальным уравнениям первого порядка на переменные $\eta$ и $\Theta$. Введем также параметр $\psi = 2 \beta /aq$.

\begin{equation}\label{eq:dimlessParticMoveAccel}
\frac{d \Theta}{d T} = \eta, \ \frac{d \eta}{d T} = -\frac{aq}{\beta} sin(\Theta) - 2
\end{equation}

Критические точки на фазовой диаграмме определяются из условий равенства нулю правых частей уравнений \eqref{eq:dimlessParticMoveAccel}: $sin\Theta = - 2\beta /aq$ и $\eta = 0$. Анализ устойчивости показывает, что семейство критических точек $[\Theta, \eta] = [{m \pi - arcsin(\psi), 0}]$ - устойчиво, если натуральное число $m$ - четно, и неустойчиво при нечетном $m$ (седловые точки).

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=250px]{phasePortrAccel}
\caption{Фазовый портрет движения частицы в поле ускоряющейся оптической решетки \cite{barker2001}.}
\label{fig:phasePortrAccel}
\end{figure}

На рис. \ref{fig:phasePortrAccel} представлен фазовый портрет исследуемой системы при значении параметра $\psi = 0.59$, вертикальная ось обозначает скорость в безразмерных величинах $\sqrt{\beta}/q \eta$. Три различный траектории, $A, B$ и $C$ описывают поведение частиц с различными начальными скоростями $\eta = 1$, но разными фазами. Траектория $A$, соответствующая захваченной частице, показывает финитные колебания в форме капли в регионе с центром в устойчивой критической точке. Частица $B$, незахваченная потенциалом, тоже, однако, испытвает существенное влияение со стороны оптической решетки, заметно ускоряясь в течение короткого промежутка времени до скорости, превышающей скорость решетки. Затем она, будучи незахваченной потенциалом, очевидно, изменит скорость движения до значений, меньших скорости решетки. Таким образом, её движение со временем не будет значительно испытывать влияния потенциала. Движение частицы $C$ слабо подвержено воздействию со стороны потенциала и имеет почти параболическую траектории, сходную невозмущенному движению.

В устойчивой критической точке $sin\Theta = - \psi$, и следовательно частица захвачена и будет ускоряться при условии $|\frac{2\beta}{aq}| < 1$. Другими словами, этот результат можно интерпретировать как ускорение оптической решетки $a_L = 2\beta/q$ должно быть меньше $a$ - максимального значения силы на единицу массы со стороны градиента внешнего потенциала. Это требование также получается при анализе потенциала $U(\Theta) = - \int \frac{m}{q^2} \frac{d^2 \Theta}{dT^2} d\Theta$, глубина которого при различных $\psi$ (см.рис \ref{fig:phasePortrAccelU}) определяется разностью значения потенциала между седловой точкой и ближайшей точкой устойчивого равновесия. Таким образом, величину глубины потенциала $\Delta U$ можно записать в виде \eqref{eq:DeltaUAccel}.

\begin{equation}\label{eq:DeltaUAccel}
\Delta U = \frac{ma}{q} \left[ 2 cos(arcsin(\psi)) - \psi (\pi - 2 arcsin(\psi))\right] 
\end{equation}

Потенциальная яма отсутствует при $\psi \geqslant 1$, а максимальное значение глубины потенциальной ямы достигается при $\psi = 0$ (разность частот не изменяется во времени, модуляция отсуствует), и $(\Delta U)_{max} = 2am/q$.

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=250px]{phasePortrAccelU}
\caption{Потенциал ускоряющейся оптической решетки в зависимости от параметра $\psi$ \cite{barker2001}.}
\label{fig:phasePortrAccelU}
\end{figure}

В ускоряющейся оптической решетке, частица, изначально захваченная потенциальной ямой, остается в ней и осциллирует вокрут устойчивой критической точки $[\Theta, \eta] = [2n \pi - arcsin(\psi),0]$. Частота таких колебаний определяется начальными условиями - фазой и скоростью частицы. Частицы, которые находились изначально в критической точке, не осциллируют. Максимальное значение отклонения скорости, которое может иметь захваченная осциллирующая частица, определеяется следующим выражением:

\begin{equation}
\Delta v / 2 = \sqrt{\frac{2\Delta U}{m}} 
\end{equation}

На рис. \ref{fig:velInAccelLattice} представлены зависимости скорости для частиц с различными начальными скоростями. Частицы, с начальными скоростями $0$ и $292$ м/с, захвачены оптической решеткой и неограниченно ускоряются, в то время как частица с начальной скоростью в $292.25$ м/с, ускоряясь в течение 2 нс до скорости, порядка 2.29 км/с, покидает зону захвата. Это аналогично поведению частиц $B$ на рис. \ref{fig:phasePortrAccel}, имеющей незамкнутую орбиту вокруг устойчивой критической точки. 

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=250px]{velInAccelLattice}
\caption{Зависимость скорости частиц от времени в ускоряющейся оптической решетке для различных начальных скоростей \cite{barker2001}.}
\label{fig:velInAccelLattice}
\end{figure}

Заметим, что исходя из условия захвата, частицы со скоростями более $\sqrt{\frac{2\Delta U}{m}}$ не могут быть захвачены и ускорены. С другой стороны, они могут быть замедлены. Так, частица с начальной скоростью $2$ км/с после взаимодействия с решеткой в течение 1 нс, когда скорость решетки была близка к скорости частицы, стала иметь скорость чуть больше $1$ км/с. 

\subsection{Течение газа при оптическом захвате}

\hspace{0.5cm} Описание движения одиночных частиц во внешнем потенциале оптической решетки, не испытывающей обратного влияния со стороны газа, приведенное в предшествующих главах данного обзора, нуждается в существенном уточнении и анализе в случае, если нам интересны процессы, происходящие в реальных газах. В этом случае, существенным может стать наличие взаимодействия между частицами. Учет наличия столкновений, различных геометрий течений газа играет наиважнейшую роль с точки зрения как предметного анализа, так и практических приложений. Например, анализ изменения средней скорости или мощности нагрева газа может быть проведен лишь с использованием моделей, описывающих изменяющуюся функцию распределения частиц газа \cite{ShnLandau}.

Различные подходы могут быть использованы для описания поведения ансамбля частиц в поле оптической решетки. Например, некоторые результаты были получены с использованием численного решения бесстолкновительной \cite{Grinstead2000},\cite{barker2001} и столкновительной форм \cite{ShnKinetic} уравнения Больцмана в $\tau$-приближении \cite{BGK}. Другой, более мощный подход к описанию газовой динамики использует метод прямого статистического моделирования (ПСМ, DSMC \cite{Bird},\cite{Ivanov2003}) и позволяет решать полное уравнение Больцмана. Особого внимания заслуживают программные комплексы \textit{SMILE} и \textit{SMILE++} \cite{SmileManual}, \cite{SmileTheory}, разработанные в лаборатории вычислительной аэродинамики ИТПМ СО РАН и активно используемые в самых разных областях аэродинамики, в том числе для решения задачи оптического захвата газа.

\subsubsection{Ускорение и нагрев бесстолкновительного газа}

\hspace{0.5cm} Рассмотрим передачу импульса и энергии в бесстолкновительный газ со стороны оптической решетки. Подробно этот процесс описан в работах \cite{ShnLandau},\cite{TransportRoom}.  В работе \cite{dong2005} представлен подробный алгоритм решения бесстолкновительного уравнения Больцмана для газа с периодическими граничными условиями. В общем случае, движущийся потенциал захватывает частицы, обладающие скоростями близкими к фазовой скорости потенциала. Захват происходит при условии, что в системе отчета потенциала кинетическая энергия частиц меньше, чем глубина потенциала. Процесс захвата тормозит более быстрые частицы и ускоряет медленные, что приводит к образованию равномерного плато на функции распределения скорости частиц вокруг точки $\xi$ фазовой скорости потенциала с характерным разбросом $\xi \pm \Delta = \xi \pm \sqrt{2\Delta U/m}$.

 В предположении, что длина свободного пробега частиц $l_c$ больше периода решетки $\lambda$, передачу импульса можно оценить как $\Pi = NmV_{dr}$, где $N$ и $m$ - число частиц в поле решетки и их масса, а $V_{dr}$ - средняя за пространственный период решетки скорость частиц. Тогда, по определению:

\begin{equation}\label{eq:VdriftColless}
V_{dr} (t) = \frac{1}{N} \left\langle \int_{-\infty}^{+\infty} v f(x,v,t) dv \right\rangle _{\lambda}
\end{equation}

В случае отсутствия внешнего потенциала, при равновесном распределении, очевидно что скорость дрейфа $V_{dr}$ была бы нулевой. В оптической решетке, как было сказано ранее, функция распределения отличается от максвелловской в области $\xi \pm \Delta$, поэтому интегрирование в \eqref{eq:VdriftColless} можно проводить по этому интервалу. Условие на плато можно записать в виде $f(v)|_{v\in (\xi \pm \Delta)} = f_0 (\xi), \ \delta f/ \partial v = 0$. Тогда запишем новую функцию распределения как $f(v) = f_0(v) + \delta f(v)$, и с учетом того, что $\delta f$ отлична от нуля лишь в обсуждаемом интервале скоростей, перепишем выражение для средней скорости дрейфа в виде \eqref{eq:VdriftColless2}.

\begin{equation}\label{eq:VdriftColless2}
V_{dr} (t) = \frac{1}{N} \left\langle \int_{\xi-\Delta}^{\xi+\Delta} v \delta f(x,v,t) dv \right\rangle _{\lambda}
\end{equation}

Использовав разложение в ряд Тейлора до первого члена $f(v) = f_0(v) + {\frac{\partial f_0(v)}{\partial v} (v-\xi)}$, после прямого интегрирования получим выражение для $V_{dr}$ и $\Pi$.

\begin{equation}\label{eq:MomTransferColless}
\Pi = \frac{2}{3} \Delta^3 f_0(\xi) \frac{m^2 \xi}{k_B T}
\end{equation}

Аналогично, можно получить выражение для средней плотности кинетической энергии $K$. При использованных предположениях, 

\begin{equation}\label{eq:EngTransferColless}
K = \left\langle \int_{\xi-\Delta}^{\xi+\Delta} \frac{mv^2}{2} \delta f(x,v,t) dv \right\rangle _{\lambda} \approx \frac{2}{3} \Delta^3 f_0(\xi) \frac{m^2 \xi^2}{k_B T}
\end{equation}

На рис. \ref{fig:DistrFuncColless} представлена эволюция функции распределения газа в движущейся со скоростью 316.3 м/с оптической решетке, длительность импульса 10 нс, интервал захвата (глубина потенциала) составляет 180 м/с. Захваченные частицы двигаются между стенками потенциала и обмениваются с ним энергией, незахваченные частицы также могут испытывать существенное влияние со стороны потенциала. Подобная ассиметрия приводит к возникновению ненулевой средней скорости газа, соответственно энергия оптической решетки будет затухать из-за обмена с газом. Формирование плато также приводит к увеличению температуры газа.

\begin{figure}[p]
\centering
\includegraphics[width=300px]{DistrFuncColless}
\caption{Эволюция функции распределения аргона (0.01 Torr, 300K) в движущейся оптической решетке в сравнении с невозмущенной ФР. Глубина потенциала 78.1К \cite{ShnLandau}.}
\label{fig:DistrFuncColless}

\includegraphics[width=300px]{VelDistColless}
\caption{Эволюция распределения скорости газа в движущейся оптической решетке (условия как на рис. \ref{fig:DistrFuncColless}) \cite{ShnLandau}.}
\label{fig:VelDistColless}
\end{figure}

На рис. \ref{fig:VelDistColless} продемонстрирован процесс эволюции распределения локальной скорости газа - на протяжении всего времени взаимодействия с лазерным импульсом, средняя скорость растет и становится неотрицательной во всей области.

Анализ выражений \eqref{eq:MomTransferColless} и \eqref{eq:EngTransferColless} говорит о том, что существуют значения скорости решетки $\xi$, соответствующие максимальной передачи энергии и импульса в газ. При скорости решетки, равной $\xi_M = \sqrt{k_B T / m}$ достигается максимальная скорость дрейфа газа $V_{dr}^{max} \approx 0.161 \frac{\sqrt{(2\Delta U)^3/m}}{k_B T}$, а при $\xi_E = \sqrt{2} \xi_M = \sqrt{2 k_B T /m}$ максимизируется передача энергии. Плотность энергии $K$, вычисленная при значении скорости решетки $\xi_E$, равна \eqref{eq:EngTransferCollessMax}.

\begin{equation}\label{eq:EngTransferCollessMax}
K_{max} = \frac{4}{3} m f_0(\xi_E) \Delta^3
\end{equation}

\subsubsection{Оптическое затухание Ландау}

\hspace{0.5cm} Затухание Ландау, впервые описанное в работе \cite{Landau}, является важным механизмом затухания электромагнитных волн в бесстолкновительных системах, например, в плазме \cite{Chen}. Этот процесс подразумевает передачу энергии от потенциала, образованного в нашем случае движущейся оптической решеткой, в бесстолкновительную систему частиц газа, что приводит к изменению распространяющейся в среде волны.

В работе \cite{ShnLandau} подробно исследуется явление оптического затухания Ландау в бесстолкновительном газе с помощью численного решения уравнения Больцмана для газа во внешнем потенциале $U$. Сначала качественно оценивается скорость диссипации энергии оптической решетки $\frac{dW}{dt}$. Она связана с плотностью кинетической энергии газа как $dW/dt = - K / \tau_c$, где $\tau_c$ - характерное время релаксации (среднее время колебаний между стенками потенциала). Для скорости решетки, при которой достигается максимальное значение плотности энергии $K$ \eqref{eq:EngTransferCollessMax}, скорость диссипации может быть записана как \eqref{eq:DissRateColless}.

\begin{equation}\label{eq:DissRateColless}
\frac{dW}{dt} = - \frac{4 n_{tr} \Delta U}{3 \tau_c}
\end{equation}

Здесь как и ранее $\Delta U$ - величина глубины потенциала решетки, а $n_{tr}$ - числовая плотность захваченных частиц газа \eqref{eq:numPtcTrappedColless}.

\begin{equation}\label{eq:numPtcTrappedColless}
n_{tr} = \int_{\xi-\Delta}^{\xi+\Delta} f(v) dv \approx 2 f_0(\xi) \Delta
\end{equation}

Оценим мгновенную передачу мощности на единицу объема $P(x,t)$ от оптической решетки газу. Сила, действующая на частицы, очевидно может быть записана как $F = - \nabla U(x,t)$. Тогда:

\begin{equation}
\left\langle P(x,t) \right\rangle  _{\lambda} = \left\langle \int_{-\infty}^{+\infty} -\nabla U(x,t) v f(x,v,t) dv \right\rangle  _{\lambda}
\end{equation}

На рис. \ref{fig:VelPowerColless} представлена временная зависимость скорости газа и мощности, переданной со стороны оптического потенциала газу для разных длин волн решетки. Максимальное значение скорости приходится на момент времени, при котором максимально значение потенциала, создаваемого лазерным импульсом. Заметим, во-первых, осцилляции величин в обеих зависимостях, связанные с колебаниями частиц между стенками потенциала. Во-вторых, диссипация энергии в газ в начальный период времени импульса положительна, но в конце длительности импульса энергия передается обратно. Это выражается в отрицательном знаке $\left\langle P(x,t) \right\rangle_{\lambda} < 0$.

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=250px]{VelPowerColless}
\caption{Зависимость средней скорости газа (а) и диссипированной в движение частиц мощности (b) со стороны решетки с разными длинами волн, $\xi = 316.3$ м/с \cite{ShnLandau}.}
\label{fig:VelPowerColless}
\end{figure}

Полная величина энергии, полученная газом в ходе взаимодействия с решеткой, может быть записана в виде \eqref{eq:EngGainedColless}, где $D$ - диаметр лазерного луча, а $L_b$ - длина области взаимодействия.

\begin{equation}\label{eq:EngGainedColless}
\Delta E = \left\langle K(x,t) \right\rangle_{\lambda} \frac{\pi D^2}{4} L_b
\end{equation}

Для того, чтобы оценить какая доля энергии излучения передается газу в течение времени взаимодействия, рассмотрим гауссовский импульс длительностью $\tau = 20 ns$ с $L_b = 1$ см, максимальное значение интенсивности $I = 1.62 \times 10^{12}$ Вт/см$^2$. Полная излученная энергия выражается как $E_L = \pi D^2/4 \int_{\tau} I(t) dt$. Тогда $\Delta E / E_L \sim 10^{-12}$, а следовательно диссипация энергии лазера чрезвычайно мала даже для достаточно больших длин взаимодействия.

\subsubsection{Ускорение и нагрев столкновительного газа}

\hspace{0.5cm} Процессы обмена энергией и импульсом между оптической решеткой и столкновительным газом играют крайне важную роль в практических приложениях.  В работе \cite{TransportRoom} приведен качественный анализ ускорения и нагрева газа при условии, что средняя длина свободного пробега частиц газа меньше или много меньше периода оптической решетки $l_c \ll \lambda_l$. Главным отличием от случая бесстолкновительного газа является то, что необходимо принимать во внимание взаимодействие всех, даже незахваченных частиц газа, вследствие наличия межмолекулярных столкновений. Гораздо большее значение импульса и энергии может быть передано газу в случае, когда частицы взаимодействуют друг с другом. Для анализа реального газа в поле оптической решетки необходимо решать уравнение Больцмана с ненулевой правой частью, например, численно или методом ПСМ.

В первую очередь, проведем качественный аналитический анализ задачи о переносе импульса и энергии в газ со стороны внешнего потенциала. Перейдем в систему отчета, связанную с движением со скоростью $\xi$ решетки. При таком рассмотрении поток газа со средней скоростью $-\xi$ налетает на неподвижный потенциал. Далее, делается существенное предположение, что периодической потенциал имеет не синусообразный, я прямоугольный вид. Тогда среднее время столкновения между частицами и потенциалом можно оценить как  $\tau_c = l_c / |v-\xi|$. За одно соударение со стенкой потенциала частица изменит импульс и кинетическую энергию следующим образом:

\begin{equation}\label{eq:dPdUperparticle}
\begin{split}
\Delta p = 2 m (\xi - v) \\
\Delta \epsilon = 2 m \xi (\xi - v)
\end{split}
\end{equation}

Изменение импульса и энергии за единицу времени связано с характерным временем столкновений между частицами $\tau_{col}$.

\begin{equation}\label{eq:dPdUperparticledt}
\begin{split}
&\Delta \dot p \sim \frac{\Delta p}{\tau_{col}} = \frac{2 m (\xi - v) |\xi - v|}{\lambda_{ptc}} \\
&\Delta \dot \epsilon \sim \frac{\Delta \epsilon}{\tau_{col}} = \frac{2 m \xi (\xi - v) |\xi - v|}{\lambda_{ptc}} 
\end{split}
\end{equation}

Для того, чтобы найти объемную скорость изменения импульса и энергии, необходимо осреднить выражения \eqref{eq:dPdUperparticledt} по функции распределения газа $f(v,x,t)$. Интегрирование проводится в интервале скоростей $[\xi \pm \Delta]$ - диапазоне скоростей частиц, захваченных решеткой. Предлагается \cite{TransportRoom} использовать разложение равновесной функции распределения в ряд Тейлора в окрестности точки $\xi$ скорости решетки $f(v) \simeq f_0(\xi) + \frac{df_0(v)}{dv}|_{\xi} (v-\xi)$. Также учтем, что эффективная область взаимодействия относится к полному объему как $\lambda_{ptc}/\lambda_l$. Имеем:

\begin{equation}\label{eq:dPdUTotal}
\begin{split}
&\dot P \approx \frac{m^2 \xi}{\lambda_l k_B T} f_0(\xi) \Delta^4\\
& \dot E = \dot P  \xi \approx \frac{m^2 \xi^2}{\lambda_l k_B T} f_0(\xi) \Delta^4 
\end{split}
\end{equation}

Так как в лабораторной системе отсчета газ преобретает ненулевую скорость за время взаимодействия, то следует внимательно 	делать переход в систему покоя потенциала, и учесть среднюю скорость частиц $v_x$. Поэтому, вместо преобразования скорости $u \longmapsto u -\xi$ необходима замена $u \longmapsto u -(\xi-v_x)$. Тогда в выражениях \eqref{eq:dPdUTotal} следует сделать очевидную замену, а скорости решетки, при которых достигается максимальная передача импульса и энергии газу, преобретают следующую форму:

\begin{equation}\label{eq:velMPMax}
\begin{split}
& \xi_M = \sqrt{k_B T/m} + v_x \\
& \xi_E = \sqrt{2k_B T/m} + v_x
\end{split}
\end{equation}

\textit{Замечание 1.} Выражения \eqref{eq:dPdUperparticledt} определены с точностью до константы, мы могли лишь определить вид зависимости. В дальнейшем будет показано, что характерное время процесса может отличаться от полученного в ходе этих рассуждений.

\textit{Замечение 2.} Разложение функции распределения в ряд Тейлора до первого порядка, использованное при получении этих результатов, оправдано в случае малости членов второго порядка в разложении по $(v-\xi)$, что, очевидно, может быть выполнено не всегда. При достаточно большой интенсивности излучения или низкой температуре газа следует проводить осреднение по полной функции распределения, например, $f(v) = f_0(v_x = \xi)$, при условии $\tau_l \gg \tau_c$. Полное выражение для скорости изменения импульса газа приведено в Приложении 1.

Кроме обсуждаемых качественных аналитических результатов, в работе \cite{TransportRoom} представлены численные результаты поведения газа в движущейся оптической решетке. Показаны зависимости конечной скорости и температуры газа от скорости решетки за время взаимодействия с 1 нс лазерным импульсом. Решалась система газодинамических уравнений Эйлера методом МакКормака второго порядка \cite{Anderson}, а также проводились расчеты методом DSMC на программном комплексе \textit{SMILE},\cite{Ivanov1998}. Результаты, полученные обоими методами находятся в хорошем согласии и представлены на рис. \ref{fig:velDepOnXi} и \ref{fig:TempDepOnXi}. В качестве газовой среды использовалась смесь $80\% \ N_2$ и $20\% \ O_2$ при $300^{\circ} K$. Вычисления проводились в объеме длиной $10\lambda_l, \lambda_l = 400$ нм, временной шаг $\Delta t = 10^{-12}$ сек.

\begin{figure}[t]
\begin{multicols}{2}
\hfill
\includegraphics[width=80mm]{velDepOnXi}
\hfill
\caption{Изменение скорости газа в центре оптической решетки за наносекундный импульс. Cравнение решения уравнений Эйлера и результатов DSMC.}
\label{fig:velDepOnXi}
\hfill
\includegraphics[width=80mm]{TempDepOnXi}
\hfill
\caption{Изменение температуры газа в центре оптической решетки за наносекундный импульс. Cравнение решения уравнений Эйлера и результатов DSMC.}
\label{fig:TempDepOnXi}
\end{multicols}
\end{figure}

Заметим, что оба подхода (и ПСМ, и уравнения Эйлера) дают одинаковый верный результат для средней скорости газа при нулевой скорости решетки. Совпадают также и характерные максимумы на графиках нагрева и ускорения газа. Однако, при неподвижной оптической решетке уравнения Эйлера не дают корректного результата для величины нагрева газа, в отличие от DSMC. Подход, связанный с численным решением системы уравнений газа не может принять во внимание изменение функции распределения при $\xi = 0$, и температура газа не меняется.

\subsubsection{Газ в оптической решетке при различных числах Кнудсена}

\hspace{0.5cm} В работе \cite{ShevDiser} исследуется процесс оптического захвата газа при разных числах Кнудсена. Для $Kn = 0.1, 1, 10$ - начиная от свободномолекулярного режима, вплоть до околоконтинуального, рассматриваются функции распределения газа и сравниваются их эволюция при взаимодействии с оптической решеткой при различных плотностях газа. Изучение переходной области параметров газа по числу Кнудсена является очень важной и актуальной задачей, связанной прежде всего с более детальным пониманием газодинамики реального газа в оптической решетке.

Параметры решетки были заданы одинаковыми для всех экспериментов. Скорость решетки была выбрана равной $\xi = 700$ м/с, период решетки $\lambda_l = 2\pi / q=400$нм, интенсивность излучения $I \simeq 2.2 \cdot 10^{17}$ Вт/см$^2$, что соответствует величине скорости захвата $\Delta = 500$ м/с. Начальная температура газа также была одинаковой для всех случаев, $T = 300^\circ K$, тепловая скорость $v_T = 353.2$ м/с.

Представленные на рис.\ref{fig:distFuncKn10},\ref{fig:distFuncKn1},\ref{fig:distFuncKn01} функции распределения были осреднены, как и в обсужаемых ранее результатах, по длине оптической решетки. В первом случае, при $Kn = 10$ (плотность газа $n = 3.36 \cdot 10^{23}$ м$^{-3}$), в начальные моменты времени формируется характерное плато в области $[\xi \pm \Delta]$, что согласуется с аналитическими результатами. Характерное время колебаний частиц между стенками потенциала $\tau_l = 1.6$ нс, среднее время между соударениями молекул газа $\tau_c \sim 11.3$ нс. За время между соударениями функция распределения начинается сглаживаться, появляется ненулевая средняя скорость, и значительная доля молекул начинается двигаться быстрее скорости захвата. Это указывает на накачку энергии со стороны движущегося потенциала в газ. При больших временах взаимодействия, происходит термализация функции распределения, она преобретает симметричный вид, подстраиваясь под внешний потенциал.

\begin{figure}[t]
\begin{multicols}{2}
\hfill
\includegraphics[width=250px]{distFuncKn10}
\hfill
\caption{Профиль функции распределения при Kn = 10 \cite{ShevDiser}.}
\label{fig:distFuncKn10}
\hfill
\includegraphics[width=250px]{distFuncKn1}
\hfill
\caption{Профиль функции распределения при Kn = 1 \cite{ShevDiser}.}
\label{fig:distFuncKn1}
\end{multicols}
\end{figure}

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=250px]{distFuncKn01}
\caption{Профиль функции распределения при Kn = 0.1 \cite{ShevDiser}.}
\label{fig:distFuncKn01}
\end{figure}

При меньшем числе Кнудсена $Kn = 1$ (увеличении плотности частиц в 10 раз), среднее время между столкновениями частиц уменьшается и составляет величину порядка времени колебаний между стенками решетки. Это приводит к тому, что функция распределения гладкая даже при маленьких временах, в отличии от случая $Kn = 10$. Кроме того, все еще образующееся плато быстрее максвеллизуется засчет большего межмолекулярного взаимодействия.

При $Kn = 0.1$, соответствующем начальному давлению газа порядка 1.3 атм, плато отсутствует при любом моменте времени. Газ нагревается и ускоряется, а его функция распределения соответствует максвелловской с заданной средней скоростью и температурой в любой момент времени.

Данные результаты позволяют объяснить, почему использование решетки более эффективно в случаях околоконтинуального или близкого к нему режимах захвата газа. Выделены два характерных временных масштаба, связанных, во-первых, со взаимодействием частиц с оптической решеткой, а во-вторых, со взаимодействием молекул газа между собой и обменом энергией и импульсом между захваченными и незахваченными частицами. 

\subsubsection{Газ в ускоряющейся решетке}

\hspace{0.5cm} Оптимизации эффекта нагрева газа, происходящего при взаимодействии с движущейся оптической решеткой, посвящены работы \cite{GraulGimHeating},\cite{GraulChirp}. Как было показано ранее, скорость нагрева газа внешним потенциалом связана со скоростью движения потенциала и достигает максимума при скорости $\xi_E = \sqrt{2 k_B T/m} + v_x$, где $v_x$ - средняя скорость газа. Поэтому, изменяя скорость решетки в каждый момент времени с учетом текущей скорости и температуры газа, возможно добиться существенного увеличения конечной температуры за конечное время лазерного импульса. Для этого предлагается линейно модулировать частоту лазерного излучения, тогда скорость решетки будет прямо пропорциональна времени взаимодействия.

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=400px]{HeatAccelConstVel}
\caption{Конечная температура (а) и скорость газа (b) в зависимости от постоянной скорости решетки для азота, аргона и метана (начальное давление 0.8 атм, температура 300$^\circ K$) \cite{GraulChirp}.}
\label{fig:HeatAccelConstVel}
\end{figure}

В качестве основы для дальнейшего анализа, в работе \cite{GraulChirp} представлены зависимости конечной температуры и скорости газа при различных постоянных скоростях потенциала (рис. \ref{fig:HeatAccelConstVel}). Зависимости имеют характерные максимумы, природа которых описана ранее, однако заметим, что значения скорости, при которых достигается соответствующее экстремальное значение, отличается от предсказанного $\xi_{E,M}(T)$ для каждого газа. Так, например, для азота $\xi_E(m = m_{N_2}, T = 300^\circ K) = 422$ м/с, в то время как максимум в примере достигается при гораздо большей скорости решетки. Очевидно, это связано с тем, что оптимальная скорость решетки меняется за время взаимодействия, так как газ поглощает и импульс, и энергию, увеличивая свою температуру и среднюю скорость. 

В случае ненулевой частоты модуляции $\psi$, [м/с$^2$] скорость решетки увеличивается со временем, что позволяет предположить существенное увеличение как скорости передачи импульса, так и нагрева. На рис. \ref{fig:HeatAccelChirp} представлены результаты моделирования для различных начальных скоростей решеток. Варьируя частоту модуляции суть зависимость скорости решетки от времени, получены соответствующие значения конечной скорости и температуры азота за 40 нс импульс.

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=400px]{HeatAccelChirp}
\caption{Конечная температура (а) и скорость газа (b) в зависимости от частоты модуляции скорости оптической решетки для азота при различных начальных скоростях решетки \cite{GraulChirp}.}
\label{fig:HeatAccelChirp}
\end{figure}

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=400px]{HeatChirpOptim}
\caption{Температура газа при локально оптимальной скорости решетки для различных газов (а) и при разных давлениях  для азота (b) \cite{GraulChirp}.}
\label{fig:HeatChirpOptim}
\end{figure}

Также в работе были предложены дополнительные методы усиления механизма нагрева газа, например, периодическое изменение знака скорости решетки за время длительности импульса. Наконец, в ходе численного эксперимента, проводимого на программном комплексе $SMILE$, возможно на каждом временном шаге измерить среднюю скорость и температуру газа и автоматически устанавливать скорость внешнего потенциала, соответствующую максимальному значению нагрева для данного состояния газа. Это позволит получить максимально возможную передачу энергии или импульса. Результаты преставлены на рис. \ref{fig:HeatChirpOptim}.


\subsubsection{Обратное влияние газа на излучение}

\hspace{0.5cm} В главе 1.2.2 уже обсуждалось затухание лазерного излучения в среде, связанное с передачей энергии газу (оптическое затухание Ландау). Было показано, что даже при макроскопических размерах области взаимодействия уменьшение интенсивности незначительно. Однако, в работе \cite{ShnKinetic} более детально с точки зрения решения уравнений распространения электромагнитной волны в оптической среде изучено взаимодействие оптической решетки и газа. По результаты этой работы впервые было продемонстрировано существенное затухание лазерного излучения и пояснён механизм отражения излучения от внутренней структуры газа.

Оптическая решетко создается парой электромагнитных волн, распространяющихся навстречу друг другу. В общем виде, электрические компоненты каждого из полей можно описать в комплексном виде \eqref{eq:EFieldComplex}, $A_1, A_2$ - комплексные амплитуды поля.

\begin{equation}\label{eq:EFieldComplex}
E_{1,2} = A_{1,2} \ exp(i(k_{1,2}x-\omega_{1,2}t)) + c.c.
\end{equation}

Связь локальной плотности частиц газа связан с диэлектрической проницаемостью и показателем преломления среды соотношением \eqref{eq:epsilonN}. Возмущение плотности газа определяется в первую очередь формой внешнего потенциала, в данном случае - периодической оптической решеткой. Тогда возмущение плотности $\Delta n(x,t)$ также можно представить в виде периодической функции. Например, в стационарном случае, когда решетка покоится относительно газа, плотность газа определяется распределением Больцмана $N(x) \sim exp(-U(x)/k_BT)$, и при небольших значениях интенсивности излучения плотность в точности модулируется видом потенциала.

Таким образом, для двух источников излучения с частотами $\omega_{1,2}$, возмущение плотности принимает вид \eqref{eq:densPerturb}. Здесь $\Delta n_a$ - амплитуда возмущения плотности. 

\begin{equation}\label{eq:densPerturb}
\Delta n(x,t) = \frac{1}{2} \Delta n_a (e^{i(k_1+k_2)x-i(\omega_1-\omega_2)t} + c.c.)
\end{equation}

Волновое уравнение \eqref{eq:waveeq}, описывающее распространение волн в среде, является дифференциальным уравнением второго порядка. Однако, предполагая медленность изменения амплитуд поля, а именно малость характерного временного и пространственного масштаба изменения с характеристиками излучения $(k, \omega)$, можно принебречь вторыми производными амплитуд. Затем, выделяя слагаемые с одинаковыми экспоненциальными множителями и дополнительно предполагая, что свойства газа меняются существенно медленнее амплитуд поля, можно свести волновое уравнение к паре уравнений первого порядка \eqref{eq:FieldEqReduced}.

\begin{equation}\label{eq:FieldEqReduced}
\begin{split}
& \frac{dA_1}{dx} = i \frac{\Delta n_a \omega_2^2 A_2^*}{2 \omega_1 c}\\
& \frac{dA_2}{dx} = i \frac{\Delta n_a \omega_1^2 A_1^*}{2 \omega_2 c}
\end{split}
\end{equation}

Заметим, что эти уравнения описывают преобразование волны в правой части уравнения в другую, в левой. Каждая волна, отражаясь от периодического возмущения оптической плотности газа, переходит в другую, усиливая её. Брэгговское отражение от периодической структуры в данном случае является механизмом ослабления излучения вдоль объема взаимодействия. В случае, если отражение происходит от движущегося среды $\Delta n = \Delta n(x-\xi t)$, то засчет эффекта Доплера частота основной и отраженной волны отличается. Однако, в силу соглсаванности формы потенциала и плотности газа, частота отраженной волны $\omega_R$ будет связана с частотой, скажем, левого источника как $\omega_R = \omega_1 (1 - \frac{2\xi}{c}) = \omega_2$, а значит не генерируется дополнительных гармоник. Очевидно, что в системе отсчета, связанной с движением возмущений плотности, частоты лазеров должны совпадать.

Граничные условия на поле задаются значением интенсивности излучения справа и слева для соответствующих источников.

\begin{equation}\label{eq:FieldEqBound}
\begin{split}
& A_1(0,t) = A_1^*(0,t) = \sqrt{I_1(0,t)/2\varepsilon_0c}  \\
& A_2(L,t) = A_2^*(L,t) = \sqrt{I_2(L,t)/2\varepsilon_0c}
\end{split}
\end{equation}

Аналитическое решение упрощенной системы \eqref{eq:ShnAnalytSolut} получено при $\Delta n_a(x) = const$. Использовано обозначение $s = \Delta n_a \frac{\sqrt{\omega_1 \omega_2}}{2c}$

\begin{equation}\label{eq:ShnAnalytSolut}
\begin{split}
& A_1(x) = \frac{1}{cosh(sL)} \left[ A_1(0) cosh(s(x-L)) + i A_2(L)\sqrt{\omega_2^3/\omega_1^3} sinh(sx)  \right] \\
& A_2(x) = \frac{1}{cosh(sL)} \left[ A_2(L) cosh(sx) + i A_1(0)\sqrt{\omega_1^3/\omega_2^3} sinh(s(x-L))  \right]
\end{split}
\end{equation}

Аналитическое решение сравнивается с численным решение уравнения Больцмана в форме BGK для газа в потенциале оптической решетки. В численном подходе, на каждом временном шаге определялась величина $\Delta n_a(x,t)$ и методом Эйлера решались уравнения на амплитуды поля \eqref{eq:FieldEqBound}. На рис. \ref{fig:IntensDistrShn} сопоставляется численное и аналитическое решение для распределения интенсивности оптической решетки. Кроме того, приведена зависимость амплитуды показателя преломления от времени для покоящейся и движущейся оптической решетки.

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=300px]{IntensDistrShn}
\caption{Пространственное распределение интенсивности симметричной оптической решетки, аналитическое решение и численный эксперимент (а), эволюция амплитуды показателя преломления (b) \cite{ShnKinetic}.}
\label{fig:IntensDistrShn}
\end{figure}

Интенсивность излучения составляла $10^{16}$ Вт/м$^2$ для обоих источников, длина взаимодействия решетки с газом равнаялась $200\lambda$ при длине волны излучения $\lambda = 532$ нм. Заметим, во-первых, отличное совпадение численного решения с аналитическим результатом, а во-вторых, уменьшение интенсивности излучения в центральной области взаимодействия. Отражаясь от периодической структуры внутри газа, излучение может значительно изменяться, уменьшаясь в данном случае. Это значит, что при решении задач с конечными, достаточно большими объемами газа, эффект брэгговского отражения может кардинально изменить характер взаимодействия, и использовать одинаковую, постоянную во всем пространстве величину потенциала некорректно. Например, при $L = 1$ см интенсивность излучения в центре решетки может уменьшаться на 80\%. Процессы, связанные с вызванные неоднородным распределением поля в пространстве, а как следствие - плотности и показателя преломления, могут проявляться в колебательных релаксационных формах и заслуживают отдельного, детального изучения.

\textit{Замечание.} Предположение о гармоническом виде функции возмущения показателя преломления является очень сильным, так как оно основано на малости амплитуды возмущения, или, в конкретном случае стоящей решетки, малости отношения $U(x,t)/k_B T \equiv \alpha E^2 / 2 k_B T$. Другими словами, стоит понимать, что отражение от оптического возмущения вида $n(x) \sim cos(qx)$ может существенно отличаться от отражения в среде с модуляцией плотности $n(x) \sim exp(C cos(qx)), C = const$, даже при $C \ll 1$.

Наконец, показано, что при взаимодействии сильного и слабого источников излучения, формирующих оптическую решетку, возможно усиление слабого лазерного луча, интенсивонсть которого на несколько порядков меньше интенсивности второго. Более мощный луч, отражаясь от газа, значительно усиливает локальную интенсивность противонаправленного луча, вплоть до нескольких раз.
 

\subsection{Оптические решетки в практических задачах}

\subsubsection{Разделение смеси газов}

\hspace{0.5cm} В работах \cite{ShevDiser}, \cite{ShevIvan2009} рассмотрена задача о разделении смеси двух газов засчет действия движущейся оптической решетки. Область между двумя параллельными пластинами заполнена двухкомпонентной смесью газов, обладающих различным отношением величин поляризуемости к массе $\alpha / m$, вследствие чего сила со стороны оптической решетки отличалась по величине для разных компонент.

Рассматривался стационарный случай, когда относительная диффузия компонент была равна нулю. Тогда связь между 	градиентом концентраций веществ, термодиффузией, бародиффузией и объемной селективной силой может быть записано в приближении Чепмена-Энскога \cite{Bird}, здесь $k_T$ - термодиффузионное соотношение:

\begin{equation}
\frac{d}{dx} \left( \frac{n_1}{n} \right) - \frac{\rho_1 \rho_2}{p \rho} \left( \frac{F_{1,x}}{\rho_1}  - \frac{F_{2,x}}{\rho_2}\right) + k_T \frac{d}{dx} lnT + \frac{n_1 n_2 (m2 - m1)}{n \rho} \frac{d}{dx} ln p = 0
\end{equation}

Было продемонстрировано, что оптическая сила, дейсвтующая на частицы, сравнима по порядку величины и даже может превосходить силу, которую испытывают фракции при разделении в специальных газовых центрифугах.

Аналитический анализ и результаты численного моделирования разделения смеси показали, что влияение селективности силы со стороны оптической решетки может быть меньше, чем явление бародиффузии, которое появляется из-за объемных сил.

На рис. \ref{fig:SeparShev} представлены аналитические оценки и оценки методом ПСМ на влияение физических эффектов на градиент концентрации для разных скоростей решетки. Аналитические оценки показывают хорошее совпадение с численными результатами, если учесть существенное влияние нагрева газа в движущейся оптической решетке на эффект разделения. 

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=250px]{SeparShev}
\caption{Сравнение аналитических оценок вклада в разделение смеси (1 - градиент концетрации $\nabla (n_1/n)$, 2 - вклад селективности силы, 3 - бародиффузии) и оценок методом ПСМ градиента концентраций (4) и бародиффузии (5), а также влияние нагрева на аналитическую оценку (6) \cite{ShevDiser}. }
\label{fig:SeparShev}
\end{figure}

\subsubsection{Реактивные микродвигатели}

\hspace{0.5cm} Использование оптических решеток в качестве инструмента для создания микродвигателей обсуждается в работе \cite{ShnAccel}. Возможность ускорения частиц до больших скоростей за короткое время действия лазерного импульса позволяет создавать устройства, в которых газу передается направленный импульс и образуется сила тяги за счет истечения газа из микросопел. Принципиально устройство состоит из двух источников излучения достаточно высокой интенсивности, отсека газа-носителя, в области которого два пересекающихся лазерных луча создают набор оптических решеток и ускоряют газ, и набора сопел для истечения газа. Пример такой конструкции приведен на рис. \ref{fig:ShnAccelDevice}.

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=250px]{ShnAccelDevice}
\caption{Схема устройства импульсного микродвигателя на основе оптических решеток \cite{ShnAccel}.}
\label{fig:ShnAccelDevice}
\end{figure}

Набор оптических решеток создается множественным отражением лазерных лучей от зеркальных поверхностей кюветы с газом. Высокий показатель отражения и знание о том, что лишь незначительная часть энергии излучения передается газа во время взаимодействия делает возможным формирование сотен и даже тысяч пересекающихся решеток, а значит и сопел для истечения скоростных газовых потоков.

Численные эксперименты на основе метода DSMC, описанные в работе \cite{ShnAccel}, проводились для разных давлений газа (0.1 и 1 torr) и начальных скоростях ускоряющейся решетки в диапазоне $-7.5 \div -5$ км/с с целью определить наибольшую эффективность работы. Максимальная интенсивность излучения в импульсе составляла $6.4\cdot10^{16}$ В/м$^2$. Сила тяги, полученная в эксперименте, достигала величин порядка 14 $\mu$Н для одного сопла. На рис.\ref{fig:AccelExample} представлены поля скоростей в устройстве в начальный момент времени и сразу после конца импульса. За время взаимодействия, захваченные частицы приводились в движение в направлении отверстия. Скорость истечения увеличивалась более, чем в 12 раз по сравнению со свободным истечением.

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=250px]{AccelExample}
\caption{Поле скорости в импульсном устройстве при разном давлении газа-носителя для двух моментах времени \cite{ShnAccel}.}
\label{fig:AccelExample}
\end{figure}

Подобный подход может быть использован не только в качестве основы для микродвигателей, но и в технологиях работы обработки материалов - травления и напыления.

\subsubsection{Диагностика газовых потоков}

\hspace{0.5cm} Использование эффекта оптического захвата в качестве основы метода исследования свойств газового потока - температуры, плотности и вязкости газа, основывается на неинтрузивной диагностике спектрального профиля отражаемого от периодических возмущений излучения \cite{Grinstead2000}, \cite{ShnCBRS}. Брэгговская решетка, формирующаяся в потоке газа двумя основными, интенсивными источниками лазерного излучения, отражает узкоспектральный пробный луч. Это фазосогласованное отражение может быть детально объяснено с точки зрения нерезонансного четырехволнового взаимодействия \cite{Boyd}. Принцип работы метода приведен на рис. \ref{fig:ScatterSch}, разность частот между опорными и пробным и отраженным лучами $\Delta \omega$ определяет скорость решетки и возмущений плотности.

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=250px]{ScatterSch}
\caption{Когерентное рассеяние Рэлея-Бриллюена в газах \cite{ShnCBRS}.}
\label{fig:ScatterSch}
\end{figure}

Интенсивность $I_s$ отраженного сигнала определяется, во-первых, мощностью опорных и пробного сигналов, длиной взаимодействия, а также амплитудой возмущения плотности \eqref{eq:ScattIntens}.

\begin{equation}
\label{eq:ScattIntens}
I_s \sim I_1 I_2 I_{pr} L^2 \delta \varrho^2
\end{equation}

В зависимости от режима столкновений в газе, выделяют два вида отражения - когерентное Рэлеевское рассеяние (CRS) и когерентное Рэлей-Бриллюеновское рассение (CRBS). Они отличаются формой сигнала; первое описывает 	отражение сигнала в газе в свободно-молекулярном режиме, когда длина свободного пробега больше характерного размера оптической решетки и параметр $y$ мал, $y = \lambda_l / l_c \ll 1$, второе происходит в кинетическом режиме, при котором акустические возмущения в газе под действием движущейся оптической решетки формируют спектральные максимумы, отвечающие движению со скоростью звука в среде (Бриллюеновские пики).

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=400px]{ScattSpectr}
\caption{Спектр мощности отраженного сигнала в агроне и криптоне. Синие линии - экспериментальные данные, красные - теоретически полученное значение \cite{ShnCBRS}.}
\label{fig:ScattSpectr}
\end{figure}

В условиях когерентного Рэлеевского рассеяния \cite{Grinstead2000} спектр имеет почти гауссовскую форму зависимости интенсивности рассеянного сигнала от разности частот опорных лучей суть скорости оптической решетки. Ширина спектра определяется температурой газа, и CRS может быть использован, например, для измерения температуры в пламени для нескольких газов с высокой точностью \cite{Bookey2006}. В случае, если длина свободного пробега в газе маленькая по сравнению с периодом оптической решетки, формирующиеся пики в спектре позволяют определить локальную скорость звука. На рис. \ref{fig:ScattSpectr} представлены результаты численного эксперимента и аналитической оценки вида спектра, на которых показано формирование пиков при увеличении давления газа и росте параметра взаимодействия $y$.  Кроме того, в работе \cite{Graul2014} описывается метод измерения температуры газа при давлении 0.8 атм с точностью не менее 5\%. Переход между режимами рассеяния и свойства рассеяния в смеси газом были изучены в работе \cite{ShnCBRS}.