gistfile1.aux

%! program = pdflatex

\documentclass[russian, 12pt]{article}
\usepackage{amsmath, amsthm, amssymb}
\usepackage{geometry} % see geometry.pdf on how to lay out the page. There's lots.
\usepackage{graphics}
\usepackage[percent]{overpic}

\geometry{a4paper} % or letter or a5paper or ... etc
% \geometry{landscape} % rotated page geometry

% See the ``Article customise'' template for come common customisations
\usepackage{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\title{Распознавание образов \\ Лабораторная работа 2}
\author{Дмитрий Дзема}
\date{} % delete this line to display the current date

%%% BEGIN DOCUMENT
\begin{document}

\maketitle
\subsection{Аналитическое решение} % (fold)
Вероятность поймать $n$ рыб вычисляется по формуле:
\begin{equation}
    p(n) = \frac{C^n_{20} C^{20-n}_{80}}{C^{20}_{100}} \\
\end{equation}
Построим ряд распределения
\begin{equation}
    \begin{tabular}{ c | c | c | c}
      n &  p(n) & n &  p(n) \\ \hline
      00 & 0.00659594371285935309 &  &  \\
      01 & 0.04325208992038921674 & 11 & 0.00007267011640373674 \\
      02 & 0.12591939081661693289 & 12 & 0.00000681282341285032 \\
      03 & 0.21586181282848626584 & 13 & 0.00000045945279075071 \\
      04 & 0.24368774963840830750 & 14 & 0.00000002173087523821 \\
      05 & 0.19195096586902310465 & 15 & 0.00000000069538800762 \\
      06 & 0.10906304878921765922 & 16 & 0.00000000001429662845 \\
      07 & 0.04557858755370288589 & 17 & 0.00000000000017474871 \\
      08 & 0.01415952444223491508 & 18 & 0.00000000000000112018 \\
      09 & 0.00328336798660519742 & 19 & 0.00000000000000000299 \\
      10 & 0.00056755360911318398 & 20 & 0.00000000000000000000 \\
    \end{tabular}
\end{equation}
\begin{figure}[h!]
  \centering
      \includegraphics[scale=0.42]{mnogougolnik_raspredeleniya.pdf}
  \caption{Многоугольник распределения}
\end{figure}
\begin{figure}[h!]
  \centering
      \includegraphics[scale=0.42]{func_raspredeleniya.pdf}
  \caption{Функция распределения}
\end{figure}

Вероятность попадания $X$ в диапозон $[2,7]$ равна:
\begin{equation}
    P(2 \le X \le 7) = \sum_{i:x_i \in [a, b]}{p_i} = 0.93206155549545515599
\end{equation}
Аналитические дисперсия и среднее:
\begin{align}
    \bar{x} = 3.99999999999999911182\\
    D = 2.58585858585858607839
\end{align}
% subsection Аналитическое_решение (end)
\section{Задача 2 (вариант 3)}
\subsection{Условие} % (fold)
Случайное время безотказной работы радиоаппаратуры характеризуется функцией распределения вероятностей (экспоненциальное распределение):
\begin{align*}
  F(t) = 1 - e^{-\frac{t}{T}} & {, t \ge 0} \\
\end{align*}
% subsection Условие (end)
\subsection{Аналитическое решение} % (fold)
Плотность распределения:
\begin{equation}
    f(t) = F'(t) = \frac{1}{T}e^{-\frac{t}{T}}
\end{equation}
Медиана:
\begin{align}
    F(x_{\frac{1}{2}}) & = \frac{1}{2}\\
    1 - e^{-\frac{t}{T}} & = \frac{1}{2}\\
    e^{-\frac{t}{T}} & = \frac{1}{2}\\
    -\frac{1}{T} & = \ln 0.5\\
    a & = - \frac{\ln 0.5}{T}
\end{align}
Мода равна 0, что хорошо видно из графика плотности распределения, т.к. мода -- точка максимума плотности распределения.\\
Вероятность попадания случайной величины в интервал вычисляется следующим образом:
\begin{align}
    p(a \le X \le b) = \int_a^b{\frac{1}{T}e^{-\frac{t}{T}}} = e^{-\frac{a}{T}} - e^{-\frac{b}{T}}\\
    p(1 \le X \le 5) = e^{-\frac{0}{2}} - e^{-\frac{5}{2}} = 0.95
\end{align}

\begin{figure}[h!]
  \centering
      \includegraphics[scale=0.5]{radio_func.pdf}
\end{figure}

Графики построены от начала области определения до квантиля порядка $X_{0,999} = -T \ln(0,001)$, параметр $T=2$. Рассчитаем среднее и дисперсию:
\begin{align*}
    M_x  = \int_0^{+\infty}{\frac{t}{T}e^{-\frac{t}{T}}dt} = \frac{1}{T}\frac{1}{(\frac{1}{T})^2} = T\\
    D_x  = \int_0^{+\infty}{\frac{(t-T)^2}{T}e^{-\frac{t}{T}}dt} = 
    \frac{1}{T}\int_0^{+\infty}{(t^2 -2tT + T^2)e^{-\frac{t}{T}}dt} = \\
    \frac{1}{T} \Bigl[ \int_0^{+\infty}{t^2e^{-\frac{t}{T}}dt} - 2T\int_0^{+\infty}{t^2 e^{-\frac{t}{T}}dt} + T^2\int_0^{+\infty}{e^{-\frac{t}{T}}dt} \Bigr] = \\
    \frac{1}{T} \Bigl[ \frac{2!}{(\frac{1}{T})^3} - 2T\frac{1}{(\frac{1}{T})2} + T^2\frac{0!}{\frac{1}{T}} \Bigr] = \frac{1}{T} [ 2T^3 - 2T^3 + T^3 ]= T^2\\
\end{align*}
При параметре $T=2$ получаем следующие результаты:
\begin{align*}
    M_x = 2\\
    D_x = 4
\end{align*}
% subsection Аналитическое_решение (end)
\end{document}