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}

\title{Physik-Test: Elektrizität}
\author{Physikalisches Institut}
\date{\today}

\setlength{\parindent}{0pt}
\setlength{\parskip}{6pt}

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\begin{document}

\maketitle

\section*{Aufgabe 1: Grundlagen der Elektrostatik (20 Punkte)}

\subsection*{a) Coulomb-Gesetz (8 Punkte)}
Erklären Sie das Coulomb-Gesetz und berechnen Sie die elektrostatische Kraft zwischen zwei Punktladungen $q_1 = 3 \cdot 10^{-6}~\mathrm{C}$ und $q_2 = -2 \cdot 10^{-6}~\mathrm{C}$ im Abstand $r = 0,5~\mathrm{m}$.

\vspace{0.5cm}
\begin{tikzpicture}
    \draw[-{Latex[length=3mm]}] (0,0) -- (6,0) node[right] {$x$};
    \draw[-{Latex[length=3mm]}] (0,0) -- (0,3) node[above] {$y$};
    
    \filldraw[blue] (1,1) circle (0.1) node[above] {$q_1$};
    \filldraw[red] (4,1) circle (0.1) node[above] {$q_2$};
    
    \draw[dashed] (1,1) -- (4,1);
    \node at (2.5,0.7) {$r = 0,5~\mathrm{m}$};
    
    \draw[-{Latex[length=3mm]}, thick, blue] (1.2,1) -- (2.2,1) node[midway, above] {$\vec{F}_{12}$};
    \draw[-{Latex[length=3mm]}, thick, red] (3.8,1) -- (2.8,1) node[midway, above] {$\vec{F}_{21}$};
\end{tikzpicture}

\subsection*{b) Elektrisches Feld (6 Punkte)}
Definieren Sie das elektrische Feld und berechnen Sie das elektrische Feld im Punkt $P(0,0,0,3~\mathrm{m})$ einer Punktladung $q = 5 \cdot 10^{-9}~\mathrm{C}$, die sich im Ursprung befindet.

\subsection*{c) Elektrisches Potential (6 Punkte)}
Erklären Sie den Zusammenhang zwischen elektrischem Feld und elektrischem Potential. Berechnen Sie die potentielle Energie eines Protons im elektrischen Feld einer Punktladung $q = 1,6 \cdot 10^{-19}~\mathrm{C}$ im Abstand von $r = 1~\mathrm{nm}$.

\section*{Aufgabe 2: Elektrische Stromkreise (25 Punkte)}

\subsection*{a) Ohmsches Gesetz (5 Punkte)}
Formulieren Sie das Ohmsche Gesetz und erläutern Sie seine Bedeutung für elektrische Schaltkreise.

\subsection*{b) Reihen- und Parallelschaltung (10 Punkte)}
Berechnen Sie den Gesamtwiderstand der folgenden Schaltung:

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
    % Spannungsquelle
    \draw (0,0) -- (0,1);
    \draw (0,1) -- (-0.5,1) -- (-0.5,2) -- (0,2);
    \draw (0,2) -- (0,3);
    \draw (-0.3,1.3) -- (-0.7,1.7);
    \node at (-1,1.5) {$10\mathrm{V}$};
    
    % Verbindungslinien
    \draw (0,0) -- (1,0);
    \draw (0,3) -- (1,3);
    
    % Parallel-Zweig 1
    \draw (1,0) -- (1,1);
    \draw (1,1) -- (1,2);
    \draw (1,2) -- (1,3);
    \draw (0.7,1.5) rectangle (1.3,1.5);
    \node at (1.7,1.5) {$R_1=10\,\Omega$};
    
    % Parallel-Zweig 2
    \draw (1,0) -- (3,0);
    \draw (1,3) -- (3,3);
    \draw (3,0) -- (3,1);
    \draw (3,1) -- (3,2);
    \draw (3,2) -- (3,3);
    \draw (2.7,1.5) rectangle (3.3,1.5);
    \node at (3.7,1.5) {$R_2=20\,\Omega$};
    
    % Parallel-Zweig 3
    \draw (3,0) -- (5,0);
    \draw (3,3) -- (5,3);
    \draw (5,0) -- (5,1);
    \draw (5,1) -- (5,2);
    \draw (5,2) -- (5,3);
    \draw (4.7,1.5) rectangle (5.3,1.5);
    \node at (5.7,1.5) {$R_3=30\,\Omega$};
    
    % Serienwiderstand
    \draw (5,0) -- (7,0);
    \draw (5,3) -- (7,3);
    \draw (7,0) -- (7,1);
    \draw (7,1) -- (7,2);
    \draw (7,2) -- (7,3);
    \draw (6.7,1.5) rectangle (7.3,1.5);
    \node at (7.7,1.5) {$R_4=15\,\Omega$};
    
    % Beschriftungen
    \node at (2,1.5) {Parallel};
    \node at (7,-0.5) {Seriell};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection*{c) Kirchhoffsche Regeln (10 Punkte)}
Erläutern Sie die Kirchhoffschen Regeln und wenden Sie diese auf folgenden Stromkreis an, um die Ströme $I_1$, $I_2$ und $I_3$ zu bestimmen:

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
    % Linke Masche
    \draw (0,0) -- (0,1);
    \draw (0,1) -- (-0.5,1) -- (-0.5,2) -- (0,2);
    \draw (0,2) -- (0,3);
    \draw (-0.3,1.3) -- (-0.7,1.7);
    \node at (-1,1.5) {$12\mathrm{V}$};
    
    \draw (0,3) -- (3,3);
    \draw (3,3) -- (3,0);
    \draw (3,0) -- (0,0);
    \draw (2.7,3.3) rectangle (3.3,3.3);
    \node at (3,3.6) {$R_1=4\,\Omega$};
    
    % Rechte Masche
    \draw (3,3) -- (6,3);
    \draw (6,3) -- (6,2);
    \draw (6,2) -- (6.5,2) -- (6.5,1) -- (6,1);
    \draw (6,1) -- (6,0);
    \draw (6.3,1.3) -- (6.7,1.7);
    \node at (7,1.5) {$6\mathrm{V}$};
    
    \draw (6,0) -- (3,0);
    
    % Mittlerer Zweig
    \draw (3,3) -- (3,1.5);
    \draw (3,1.5) -- (3,0);
    \draw (2.7,1.5) rectangle (3.3,1.5);
    \node at (3.7,1.5) {$R_2=6\,\Omega$};
    
    % Beschriftungen
    \node[above] at (1.5,3) {$I_1$};
    \node[right] at (3,1.5) {$I_2$};
    \node[above] at (4.5,3) {$I_3$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\section*{Aufgabe 3: Magnetismus und Elektromagnetische Induktion (25 Punkte)}

\subsection*{a) Magnetfeld eines Stromleiters (8 Punkte)}
Beschreiben Sie das Magnetfeld eines geraden Stromleiters. Wie berechnet man die magnetische Flussdichte in einem Abstand $r$ vom Leiter?

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
    % Stromleiter
    \draw[thick] (0,-2) -- (0,2);
    \node[above] at (0,2) {Stromleiter};
    \node at (0,-0.5) {$I$};
    \draw[-{Latex[length=2mm]}] (0,-0.2) -- (0,-0.8);
    
    % Magnetfeldlinien
    \foreach \r in {0.5,1,1.5}{
        \draw[blue, decoration={aspect=0.3, segment length=3mm, amplitude=0.3mm, coil}, decorate] (0,0) circle (\r);
    }
    
    % Abstandsmarkierung
    \draw[dashed] (0,0) -- (1,0);
    \node at (0.5,0.2) {$r$};
    
    % Rechte-Hand-Regel
    \draw[red, -{Latex[length=3mm]}] (2,0) -- (2.7,0) node[right] {$\vec{B}$};
    \node at (2.5,-0.5) {Rechte-Hand-Regel};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection*{b) Lorentzkraft (8 Punkte)}
Erläutern Sie die Lorentzkraft und berechnen Sie die Kraft auf ein Elektron, das sich mit einer Geschwindigkeit von $v = 2 \cdot 10^6~\mathrm{m/s}$ senkrecht zu einem Magnetfeld mit $B = 0,5~\mathrm{T}$ bewegt.

\subsection*{c) Elektromagnetische Induktion (9 Punkte)}
Erklären Sie das Faradaysche Induktionsgesetz und berechnen Sie die induzierte Spannung in einer Leiterschleife mit 50 Windungen und einer Fläche von $A = 0,01~\mathrm{m}^2$, wenn das Magnetfeld sich mit einer Rate von $\frac{dB}{dt} = 0,2~\mathrm{T/s}$ ändert.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
    % Spule
    \foreach \i in {0,0.2,...,2}{
        \draw[thick] (0,\i) arc (90:270:0.5 and 0.5);
        \draw[thick] (0,\i) arc (90:-90:0.5 and 0.5);
    }
    
    % Magnetfeld
    \foreach \x in {-0.8,-0.4,0,0.4,0.8}{
        \draw[-{Latex[length=2mm]}, blue] (\x,-1.5) -- (\x,-0.5);
        \draw[-{Latex[length=2mm]}, blue] (\x,2.5) -- (\x,3.5);
    }
    
    % Beschriftungen
    \node at (0,-1) {$\vec{B}$};
    \node at (2,1) {$N = 50$ Windungen};
    \node at (2,0.5) {$A = 0,01~\mathrm{m}^2$};
    \node at (2,0) {$\frac{dB}{dt} = 0,2~\mathrm{T/s}$};
    
    % Induzierte Spannung
    \draw[-{Latex[length=3mm]}, red, thick] (1.5,1.5) to[out=45,in=135] (3,1.5) node[right] {$U_{ind}$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\section*{Aufgabe 4: Elektrische Schwingkreise (15 Punkte)}

\subsection*{a) LC-Schwingkreis (8 Punkte)}
Beschreiben Sie die Energieumwandlungen in einem LC-Schwingkreis und leiten Sie die Schwingungsgleichung her.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
    % LC-Schwingkreis
    \draw (0,0) -- (1.5,0);
    \draw (1.5,0) -- (1.5,0.5) -- (3,0.5) -- (3,0);
    \draw (3,0) -- (4.5,0);
    \node at (2.25,0.8) {$C$};
    
    \draw (0,0) -- (0,-2);
    \draw (4.5,0) -- (4.5,-2);
    
    \draw (0,-2) -- (1.5,-2);
    \draw[decoration={aspect=0.3, segment length=3mm, amplitude=2mm, coil}, decorate] (1.5,-2) -- (3,-2);
    \draw (3,-2) -- (4.5,-2);
    \node at (2.25,-1.7) {$L$};
    
    % Energieumwandlung
    \node[blue] at (2.25,1.3) {$E_C = \frac{1}{2}CU^2$};
    \node[red] at (2.25,-2.5) {$E_L = \frac{1}{2}LI^2$};
    
    % Pfeile für Energieumwandlung
    \draw[-{Latex[length=3mm]}, blue, thick] (1.5,-0.5) -- (1.5,-1.5);
    \draw[-{Latex[length=3mm]}, red, thick] (3,-1.5) -- (3,-0.5);
    
    % Beschriftung
    \node at (6,-1) {$f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection*{b) Gedämpfte Schwingungen (7 Punkte)}
Erklären Sie, wie ein ohmscher Widerstand in einem Schwingkreis zu einer gedämpften Schwingung führt. Skizzieren Sie den Verlauf einer gedämpften Schwingung und geben Sie die Gleichung für die Amplitude an.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
    \begin{axis}[
        width=10cm,
        height=6cm,
        axis lines=middle,
        xlabel={$t$},
        ylabel={$U(t)$},
        xmin=0, xmax=10,
        ymin=-1.2, ymax=1.2,
        xtick={0,2,4,6,8,10},
        ytick={-1,-0.5,0,0.5,1},
        xticklabels={0,$T$,$2T$,$3T$,$4T$,$5T$},
        domain=0:10,
        samples=200,
    ]
    % Gedämpfte Schwingung
    \addplot[thick, blue] {exp(-0.2*x)*cos(deg(2*pi*x))};
    
    % Einhüllende
    \addplot[dashed, red] {exp(-0.2*x)};
    \addplot[dashed, red] {-exp(-0.2*x)};
    
    \node at (axis cs:8,0.8) {$U(t) = U_0 e^{-\delta t} \cos(\omega t)$};
    \end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\section*{Aufgabe 5: Anwendungen der Elektrizitätslehre (15 Punkte)}

\subsection*{a) Kondensator (5 Punkte)}
Erklären Sie die Funktionsweise eines Plattenkondensators und berechnen Sie die Kapazität eines Kondensators mit einer Plattenfläche von $A = 100~\mathrm{cm}^2$ und einem Plattenabstand von $d = 2~\mathrm{mm}$, wenn sich zwischen den Platten Luft befindet ($\varepsilon_r \approx 1$).

\subsection*{b) Elektromotor (5 Punkte)}
Beschreiben Sie das Funktionsprinzip eines einfachen Elektromotors und erklären Sie, wie die Lorentzkraft dabei genutzt wird.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
    % Magnete
    \draw[fill=red!20] (-3,0) rectangle (-2,2) node[midway] {N};
    \draw[fill=blue!20] (3,0) rectangle (2,2) node[midway] {S};
    
    % Spule
    \draw[thick] (0,1) circle (1);
    \draw[thick] (-1,1) -- (1,1);
    
    % Achse
    \draw[thick, dashed] (0,-0.5) -- (0,2.5);
    
    % Stromrichtung
    \draw[-{Latex[length=2mm]}, red] (-0.8,1.3) -- (-0.3,1.3);
    \draw[-{Latex[length=2mm]}, red] (0.3,0.7) -- (0.8,0.7);
    
    % Kraft
    \draw[-{Latex[length=3mm]}, blue, thick] (0,0.3) -- (0.5,0.3) node[right] {$\vec{F}$};
    \draw[-{Latex[length=3mm]}, blue, thick] (0,1.7) -- (-0.5,1.7) node[left] {$\vec{F}$};
    
    % Drehmoment
    \draw[-{Latex[length=5mm]}, green!70!black, thick, decoration={snake, amplitude=0.5mm}, decorate] (0,1) circle (0.5);
    \node[green!70!black] at (0,1) {$M$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection*{c) Transformator (5 Punkte)}
Erklären Sie das Funktionsprinzip eines Transformators und berechnen Sie die Sekundärspannung eines Transformators mit 500 Primärwindungen und 50 Sekundärwindungen, wenn die Primärspannung $U_1 = 230~\mathrm{V}$ beträgt.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
    % Eisenkern
    \draw[fill=gray!30] (-2,0) rectangle (2,-0.5);
    \draw[fill=gray!30] (-2,3) rectangle (2,3.5);
    \draw[fill=gray!30] (-2,-0.5) rectangle (-1.5,3.5);
    \draw[fill=gray!30] (1.5,-0.5) rectangle (2,3.5);
    
    % Primärspule
    \foreach \i in {0,0.2,...,2}{
        \draw[thick, red] (-1.4,\i) -- (-0.6,\i);
        \draw[thick, red] (-1.4,\i) -- (-1.4,\i+0.1);
        \draw[thick, red] (-0.6,\i) -- (-0.6,\i+0.1);
    }
    
    % Sekundärspule
    \foreach \i in {0,0.2,...,1}{
        \draw[thick, blue] (0.6,\i) -- (1.4,\i);
        \draw[thick, blue] (0.6,\i) -- (0.6,\i+0.1);
        \draw[thick, blue] (1.4,\i) -- (1.4,\i+0.1);
    }
    
    % Beschriftungen
    \node[red] at (-1,2.5) {$N_1 = 500$};
    \node[blue] at (1,1.5) {$N_2 = 50$};
    \node[red] at (-1,-1) {$U_1 = 230~\mathrm{V}$};
    \node[blue] at (1,-1) {$U_2 = ?$};
    
    % Formel
    \node at (0,-1.5) {$\frac{U_2}{U_1} = \frac{N_2}{N_1}$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\end{document}