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\title{Lösungen: Physik-Test Elektrizität}
\author{Physikalisches Institut}
\date{\today}

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\setlength{\parskip}{6pt}

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% Define constants
\providecommand{\epsZero}{8.854 \cdot 10^{-12}~\mathrm{C^2/(N \cdot m^2)}} % Electric constant
\providecommand{\qe}{1.602 \cdot 10^{-19}~\mathrm{C}} % Elementary charge
\providecommand{\muZero}{4\pi \cdot 10^{-7}~\mathrm{T \cdot m/A}} % Magnetic constant

\begin{document}

\maketitle

\section*{Lösungen}

\subsection*{Zu Aufgabe 1: Grundlagen der Elektrostatik}

\subsubsection*{a) Coulomb-Gesetz}
\textbf{Erklärung:} Das Coulomb-Gesetz beschreibt die Kraft $F$ zwischen zwei Punktladungen $q_1$ und $q_2$, die sich im Abstand $r$ voneinander befinden. Die Kraft ist proportional zum Produkt der Ladungen und umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstandes. Mathematisch lautet das Gesetz:
$$ F = k_e \frac{|q_1 q_2|}{r^2} $$
wobei $k_e = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}$ die Coulomb-Konstante ist ($\varepsilon_0$ ist die elektrische Feldkonstante, $\varepsilon_0 \approx \epsZero$). Die Kraft wirkt entlang der Verbindungslinie der beiden Ladungen. Sind die Ladungen gleichnamig, ist die Kraft abstoßend; sind sie ungleichnamig, ist sie anziehend.

\textbf{Berechnung:}
Gegeben sind $q_1 = 3 \cdot 10^{-6}~\mathrm{C}$, $q_2 = -2 \cdot 10^{-6}~\mathrm{C}$ und $r = 0,5~\mathrm{m}$.
Die Coulomb-Konstante ist $k_e = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \approx \frac{1}{4\pi \cdot \epsZero} \approx 8.988 \cdot 10^9~\mathrm{N \cdot m^2/C^2}$.

Die Kraft $F$ ist:
$$ F = k_e \frac{|q_1 q_2|}{r^2} = (8.988 \cdot 10^9~\mathrm{N \cdot m^2/C^2}) \frac{|(3 \cdot 10^{-6}~\mathrm{C}) \cdot (-2 \cdot 10^{-6}~\mathrm{C})|}{(0.5~\mathrm{m})^2} $$
$$ F = (8.988 \cdot 10^9~\mathrm{N \cdot m^2/C^2}) \frac{6 \cdot 10^{-12}~\mathrm{C^2}}{0.25~\mathrm{m}^2} $$
$$ F = (8.988 \cdot 10^9~\mathrm{N \cdot m^2/C^2}) \cdot (24 \cdot 10^{-12}~\mathrm{C^2/m^2}) $$
$$ F \approx 0.2157~\mathrm{N} $$
Da die Ladungen ungleichnamig sind ($q_1 > 0$, $q_2 < 0$), ist die Kraft anziehend.

\vspace{0.5cm}
\begin{tikzpicture}
    \draw[-{Latex[length=3mm]}] (0,0) -- (6,0) node[right] {$x$};
    \draw[-{Latex[length=3mm]}] (0,0) -- (0,3) node[above] {$y$};
    
    \filldraw[blue] (1,1) circle (0.1) node[above] {$q_1$};
    \filldraw[red] (4,1) circle (0.1) node[above] {$q_2$};
    
    \draw[dashed] (1,1) -- (4,1);
    \node at (2.5,0.7) {$r = 0,5~\mathrm{m}$};
    
    % Anziehende Kraft
    \draw[-{Latex[length=3mm]}, thick, blue] (1.2,1) -- (2.2,1) node[midway, above] {$\vec{F}_{12}$};
    \draw[-{Latex[length=3mm]}, thick, red] (3.8,1) -- (2.8,1) node[midway, above] {$\vec{F}_{21}$};
    \node at (2.5, 1.5) {Anziehende Kraft};
\end{tikzpicture}

\subsubsection*{b) Elektrisches Feld}
\textbf{Definition:} Das elektrische Feld $\vec{E}$ an einem Punkt im Raum ist definiert als die Kraft $\vec{F}$, die auf eine kleine positive Probeladung $q_0$ wirkt, die an diesem Punkt platziert wird, geteilt durch die Probeladung:
$$ \vec{E} = \frac{\vec{F}}{q_0} $$
Das elektrische Feld ist eine Vektorgröße, die Richtung und Betrag der elektrischen Kraftwirkung pro Ladungseinheit angibt. Es wird von Ladungen erzeugt und erfüllt den Raum um sie herum. Die Einheit des elektrischen Feldes ist Newton pro Coulomb ($\mathrm{N/C}$) oder Volt pro Meter ($\mathrm{V/m}$).

\textbf{Berechnung:}
Das elektrische Feld einer Punktladung $q$ im Ursprung an einem Punkt $P$ mit dem Ortsvektor $\vec{r}$ ist gegeben durch:
$$ \vec{E}(\vec{r}) = k_e \frac{q}{r^2} \hat{r} $$
wobei $r = |\vec{r}|$ der Abstand vom Ursprung ist und $\hat{r} = \vec{r}/r$ der Einheitsvektor in Richtung von $\vec{r}$.
Gegeben sind $q = 5 \cdot 10^{-9}~\mathrm{C}$ und der Punkt $P$ mit den Koordinaten $(0, 0, 0.3~\mathrm{m})$. Der Abstand ist $r = 0.3~\mathrm{m}$. Der Punkt liegt auf der z-Achse, also ist $\hat{r} = \hat{z}$ (Einheitsvektor in z-Richtung).

Der Betrag des elektrischen Feldes ist:
$$ E = k_e \frac{|q|}{r^2} = (8.988 \cdot 10^9~\mathrm{N \cdot m^2/C^2}) \frac{5 \cdot 10^{-9}~\mathrm{C}}{(0.3~\mathrm{m})^2} $$
$$ E = (8.988 \cdot 10^9~\mathrm{N \cdot m^2/C^2}) \frac{5 \cdot 10^{-9}~\mathrm{C}}{0.09~\mathrm{m}^2} $$
$$ E \approx 499.3~\mathrm{N/C} $$
Da die Ladung $q$ positiv ist, zeigt das elektrische Feld von der Ladung weg. Am Punkt $P(0,0,0.3~\mathrm{m})$ zeigt das Feld in positiver z-Richtung:
$$ \vec{E} = (0, 0, 499.3)~\mathrm{N/C} $$

\subsubsection*{c) Elektrisches Potential}
\textbf{Zusammenhang Feld und Potential:} Das elektrische Potential $V$ ist eine skalare Größe, die die potentielle Energie $E_{pot}$ pro Ladungseinheit $q$ beschreibt: $V = E_{pot}/q$. Das elektrische Feld $\vec{E}$ ist der negative Gradient des elektrischen Potentials:
$$ \vec{E} = -\nabla V $$
In einer Dimension vereinfacht sich dies zu $E_x = -\frac{dV}{dx}$. Das bedeutet, das elektrische Feld zeigt in Richtung des stärksten Potentialabfalls. Umgekehrt kann das Potential durch Integration des elektrischen Feldes entlang eines Weges berechnet werden (bis auf eine additive Konstante):
$$ V(\vec{r}) = -\int_{\vec{r}_0}^{\vec{r}} \vec{E} \cdot d\vec{s} + V(\vec{r}_0) $$
wobei $\vec{r}_0$ ein Referenzpunkt ist, an dem das Potential bekannt ist (oft $V(\infty)=0$).

\textbf{Berechnung:}
Die potentielle Energie $E_{pot}$ eines Protons (Ladung $q_p = \qe \approx 1.602 \cdot 10^{-19}~\mathrm{C}$) im Feld einer Punktladung $q = 1.6 \cdot 10^{-19}~\mathrm{C}$ im Abstand $r = 1~\mathrm{nm} = 1 \cdot 10^{-9}~\mathrm{m}$.
Das elektrische Potential $V$ einer Punktladung $q$ im Abstand $r$ ist (mit $V(\infty)=0$):
$$ V(r) = k_e \frac{q}{r} $$
$$ V(1~\mathrm{nm}) = (8.988 \cdot 10^9~\mathrm{N \cdot m^2/C^2}) \frac{1.6 \cdot 10^{-19}~\mathrm{C}}{1 \cdot 10^{-9}~\mathrm{m}} $$
$$ V(1~\mathrm{nm}) \approx 1.438~\mathrm{V} $$
Die potentielle Energie des Protons ist dann:
$$ E_{pot} = q_p \cdot V(r) = (1.602 \cdot 10^{-19}~\mathrm{C}) \cdot (1.438~\mathrm{V}) $$
$$ E_{pot} \approx 2.304 \cdot 10^{-19}~\mathrm{J} $$

\subsection*{Zu Aufgabe 2: Elektrische Stromkreise}

\subsubsection*{a) Ohmsches Gesetz}
\textbf{Formulierung:} Das Ohmsche Gesetz besagt, dass die Spannung $U$ über einem Leiter proportional zum Strom $I$ ist, der durch ihn fließt, vorausgesetzt, die Temperatur und andere physikalische Bedingungen bleiben konstant. Der Proportionalitätsfaktor ist der elektrische Widerstand $R$ des Leiters:
$$ U = R \cdot I $$
Oder umgeformt: $I = U/R$ bzw. $R = U/I$.

\textbf{Bedeutung:} Das Ohmsche Gesetz ist fundamental für die Analyse einfacher elektrischer Schaltkreise. Es ermöglicht die Berechnung von Spannung, Strom oder Widerstand, wenn die anderen beiden Größen bekannt sind. Es gilt für viele Materialien (sogenannte ohmsche Widerstände) in einem weiten Bereich von Bedingungen. Es beschreibt den linearen Zusammenhang zwischen Spannung und Strom in diesen Materialien.

\subsubsection*{b) Reihen- und Parallelschaltung}
\textbf{Berechnung des Gesamtwiderstands:}
Die Schaltung besteht aus drei parallel geschalteten Widerständen ($R_1, R_2, R_3$) und einem dazu in Serie geschalteten Widerstand ($R_4$).

1.  \textbf{Gesamtwiderstand der Parallelschaltung ($R_{123}$):}
    Für parallel geschaltete Widerstände addieren sich die Kehrwerte der Einzelwiderstände zum Kehrwert des Gesamtwiderstands:
    $$ \frac{1}{R_{123}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} $$
    Gegeben: $R_1 = 10\,\Omega$, $R_2 = 20\,\Omega$, $R_3 = 30\,\Omega$.
    $$ \frac{1}{R_{123}} = \frac{1}{10\,\Omega} + \frac{1}{20\,\Omega} + \frac{1}{30\,\Omega} $$
    Gemeinsamer Nenner ist $60\,\Omega$:
    $$ \frac{1}{R_{123}} = \frac{6}{60\,\Omega} + \frac{3}{60\,\Omega} + \frac{2}{60\,\Omega} = \frac{11}{60\,\Omega} $$
    $$ R_{123} = \frac{60}{11}\,\Omega \approx 5.45\,\Omega $$

2.  \textbf{Gesamtwiderstand der gesamten Schaltung ($R_{ges}$):}
    Der Widerstand $R_{123}$ ist in Serie mit $R_4$ geschaltet. Bei einer Serienschaltung addieren sich die Einzelwiderstände zum Gesamtwiderstand:
    $$ R_{ges} = R_{123} + R_4 $$
    Gegeben: $R_4 = 15\,\Omega$.
    $$ R_{ges} = \frac{60}{11}\,\Omega +
\end{document}