links.md

Формальная Система Связей и Упорядоченных Пар

Формальные Определения

1. Множество ссылок (Links):

   Обозначим множество всех ссылок как $L$. Элементы этого множества называются ссылками.

2. Упорядоченная пара ссылок:

   Для любых двух ссылок $x, y \in L$, выражение $x \rightarrow y$ представляет собой упорядоченную пару ссылок $(x, y)$. Обратите внимание, что $x \rightarrow y$ не принадлежит множеству $L$.

   Формально:

$$x \rightarrow y := (x, y)$$

3. Связь (Connection):

   Для ссылки $x \in L$ и упорядоченной пары ссылок $y = (y_1, y_2)$, выражение $x : y$ обозначает связь. Аналогично, $x : y$ не принадлежит множеству $L$.

   В частности, связь $x : (x \rightarrow x)$ формально определяется как:

$$x : (x \rightarrow x) = x \rightarrow (x \rightarrow x)$$

При этом скобки обязательны для сохранения структуры выражения.

4. Приоритет Операторов:

   Оператор двоеточия $:$ имеет нижний приоритет по сравнению с оператором стрелки $\rightarrow$. Это означает, что выражение $( x : y \rightarrow z )$ трактуется как $( x : (y \rightarrow z) )$, а не как $( (x : y) \rightarrow z )$.

Аксиомы

1. Идемпотентность Связи:

$$x : (x \rightarrow x) = x \rightarrow (x \rightarrow x) \quad \forall x \in L$$

2. Неравенство при Разных Скобках:

$$(x : x \rightarrow x) \neq ((x \rightarrow x) \rightarrow x)$$ $$(x : x \rightarrow x) \neq (x \rightarrow x \rightarrow x)$$

3. НеКоммутативность Стрелки:

$$x \rightarrow y \neq y \rightarrow x \quad \text{для некоторых} \quad x, y \in L$$

4. Идемпотентность Стрелки:

$$x \rightarrow x = (x, x) \quad \forall x \in L$$

5. Связность:

$$x : (y \rightarrow z) = x \rightarrow (y \rightarrow z) \quad \forall x, y, z \in L$$

6. Неассоциативность Стрелки:

$$x \rightarrow (y \rightarrow z) \neq (x \rightarrow y) \rightarrow z \quad \forall x, y, z \in L$$

7. Аксиома Единственности Представления:

• Уникальность Упорядоченной Пары:

$$x \rightarrow y = u \rightarrow v \quad \Rightarrow \quad x = u \quad \text{и} \quad y = v \quad \forall x, y, u, v \in L$$

• Уникальность Связи:

$$x : y' = u : v' \quad \Rightarrow \quad x = u \quad \text{и} \quad y' = v' \quad \forall x, u \in L; \ y', v' \text{ — упорядоченные пары}$$

Дополнительные Замечания

• Отсутствие Закрытости Операций:

  Операции $( \rightarrow )$ и $( : )$ не производят элементы, принадлежащие множеству ссылок $( L )$. То есть, для любых $x, y \in L$, $x \rightarrow y$ и $x : y$ не принадлежат $L$.

• Отсутствие Специальных Элементов:

  В системе не предполагается наличие специальных элементов, таких как нейтральные элементы для операторов $(\rightarrow)$ или $(:)$.

• Необходимость Явной Расстановки Скобок:

  Поскольку операции не ассоциативны и не коммутативны, необходимо явно указывать порядок выполнения операций с помощью скобок для избежания неоднозначности.