TheZoq2 · December 2, 2015 14:29
diff --git a/lab1.tex b/lab1.tex
 \documentclass[a4paper]{article}
 \usepackage[utf8]{inputenc} %Make sure all UTF8 characters work in the document
 \usepackage[T1]{fontenc}

 \usepackage{listings} %Add code sections
 \usepackage{color}
 \usepackage{textcomp}
 \usepackage{url}
 \definecolor{listinggray}{gray}{0.9}
 \definecolor{lbcolor}{rgb}{0.9,0.9,0.9}
 \lstset{
 	backgroundcolor=\color{lbcolor},
 	tabsize=4,
 	rulecolor=,
    basicstyle=\scriptsize,
    upquote=true,
    aboveskip={1.5\baselineskip},
    columns=fixed,
    showstringspaces=false,
    extendedchars=true,
    breaklines=true,
    prebreak = \raisebox{0ex}[0ex][0ex]{\ensuremath{\hookleftarrow}},
    frame=single,
    showtabs=false,
    showspaces=false,
    showstringspaces=false,
    identifierstyle=\ttfamily,
    keywordstyle=\color[rgb]{0,0,1},
    commentstyle=\color[rgb]{0.133,0.545,0.133},
    stringstyle=\color[rgb]{0.627,0.126,0.941},
 }

 %Set page size
 \usepackage{geometry}
 \geometry{margin=3cm}

 \usepackage{amssymb,amsmath}
 \usepackage{mathtools}
 \usepackage{float}
 \usepackage{caption}
 \captionsetup[table]{name=Tabell}
 \captionsetup[figure]{name=Figur}
 \usepackage{graphicx}

 %Set content name
 \renewcommand*\contentsname{Innehållsförteckning}

 \usepackage[yyyymmdd]{datetime}
 \renewcommand{\dateseparator}{--}

 \usepackage{tikz}

 \usepackage{parskip} %used for \setlength 
 \setlength{\parindent}{15pt}  %Add line break after each paragraph 
 \raggedright %Right justify text
 \title{R-laboration: Svängande balk}
 \author{Frans Skarman}
 \date{November 2015}

 %Graphics

 %\def \zeleSource {Zele, John M, \textit{Python as a First Language} [www] <\url{http://mcsp.wartburg.edu/zelle/python/python-first.html}> hämtad 2015-11-04}
 \begin{document}
    \begin{titlepage}
        \begin{tikzpicture}[f]
            \draw (0, 0) node[inner sep=0] {\includegraphics[width=1\textwidth]{titleTopBackground}};
            \draw (0, 0) node {\textcolor{white}{\centering\huge\textbf{{LABORATIONSRAPPORT}}}};
        \end{tikzpicture}
        \begin{minipage}[t]{7cm}
            \flushleft
                \textbf{Rapportskrivare:} \\
                Frans Skarman 950908-5552 \\
                \ \ \ \ \ Morotsvägen 5 \\
                \ \ \ \ \ SE-582 75 Linköping \\
                \ \ \ \ \ [email protected]

                \vspace{0.5cm}

                \textbf{Medlaborant:} \\
                Robin Sliwa 950221-7657 \\
                \ \ \ \ \ [email protected]
            \end{minipage}
            \hfill
            \begin{minipage}[t]{7cm}
            \flushright
            \today
        \end{minipage}

        

    	\vspace{2cm}
        \centering
    	{\huge\bfseries R-laboration: Svängande balk\par}
        {\Large\itshape Mekanik för D (TFYY68)\par}
    	\vfill
    
    	\vfill
    
    % Bottom of the page
    \raggedright
    \begin{tikzpicture}[f]
        \draw (-10, 0) node[inner sep=0] {\includegraphics[width=1\textwidth]{titleBottomBackground}};
        \draw (-12, -1) node {\textcolor{white}{\centering\large\textbf{{Tekniska högskolan vid Linköpings Universitet}}}};
        \draw (-12, -1.5) node {\textcolor{white}{\centering\large\textbf{{Institutionen för fysik, kemi och biologi(IFM)}}}};
    \end{tikzpicture}
    \end{titlepage}
    \thispagestyle{empty}
    \newpage
    \section*{Sammanfattning}
    Den här rapporten beskriver hur ett uttryck för svängningstiden för en svängande togs fram experimentellt. En ansats togs fram där olika egenskaper som skulle kunna påverka svängningstiden togs med. Sedan gjordes en mängd mätningar med olika balkar och resultatet redovisades i en tabell. Utifrån mätningen ändrades ansatsen lite och sedan beräknades ett korrekt uttryck utifrån den. Den slutgiltiga formeln för svängningstiden blev:
    \[
        T = \6.4 \cdot frac{l^2 \cdot \sqrt{\rho}}{\sqrt{E} \cdot{t^{-1}}}
    \]
    Dock visade det sig att precisionen på konstanten är ganska låg.
    \thispagestyle{empty}
    \newpage
    \tableofcontents
    \thispagestyle{empty}
    \newpage
    \section{Inledning}
    Den här rapporten beskriver hur ett uttryck för svängningstiden av en svängande metallbalk bestämdes experimentellt. Laborationen gjordes som en del av kursen TFYY68 Mekanik på Linköpings universitet.
    \newpage
    
    \section{Experimentell uppställning \label{sec:setup}}
    \begin{figure}[h]
        \centering
        \includegraphics[width=0.75\textwidth]{setup}
        \caption{Illustration av experimentupsättning\label{fig:setup}}
        
    \end{figure}

    En balk av ett känt material, bredd och tjocklek spändes upp på två fasta punkter så att en viss längd av balken hängde löst på ena sidan. Balkens lösa ända drogs uppåt eller nedåt och släpptes sedan lös för att svänga fritt. En digital frekvensmätare mätte svängningens (dubbla) frekvens vilket sedan räknades om till svängningstid. Uppställningen illustreras i figur \ref{fig:setup}

    De olika variablerna och beteckningarna som används senare beskrivs i tabell \ref{unitTable}. Utöver de enheterna används även $k$ som är en reell konstant.

    I vissa delberäkningar används även en godtycklig konstant som betecknas med $c$
    \begin{table}[h]
        \centering
        \begin{tabular}[pos]{c | c | c | c}
            \textbf{beteckning} & \textbf{Enhet} & \textbf{Storhet} & \textbf{Beskrivning}\\
            \hline
            $t$     &   $m$                      & $L$               & Balkens tjocklek som är parallell med svängningen \\ 
            $l$     &   $m$                      & $L$               &    Längden av den delen av balken som sticker utanför fästet \\
            $b$     &   $m$                      & $L$               &   Balkens bredd som är vinkelrät mot svängningen \\
            $E$     &   $\frac{kg}{m \cdot s^2}$ & $M L^{-1} T^{-2}$ &  Materialets elasticitetsmodul\\
            $\rho$  &   $\frac{kg}{m^3}$         & $LM^{-3}$         &  Materialets densitet\\
            
        \end{tabular}
        \caption{\textit{Beskrivning av storheter och enheter\label{unitTable}}}
    \end{table}




    

    \newpage

    \section{Ansats}
    Ansatsen som gjordes var att svängningstiden skulle påverkas av balkens tjocklek och bredd, materialets elasticitetsmodul och densitet eller massa samt längden av den lösa delen av balken. Det ger följande uttryck för balkens utsträckning

    \begin{displaymath}
        l^x \cdot E^y \cdot t^z \cdot b^u \cdot \rho^v \cdot k=T : k \in \mathbb{R}
    \end{displaymath}

    Den här ansatsen valdes baserat på formeln för utsträckningen av en balk då en tyngt hängs längst ut. Den formeln innehåller alla variabler som togs med i nuvarande ansats samt massan på objektet som hängs och tyngdaccelerationen $g$. Eftersom att svängningstiden är en oscillerande rörelse som uppstår på grund av balkens egna elasticitet så togs tyngdaccelerationen bort från ansatsen. 

    Längden troddes påverka eftersom att en längre balk ger större moment och mer massa som måste påverkas av "svängingskraften". Bredden och tjockleken togs med eftersom att de ger en större volym som måste böjas och det generellt är lättare att böja en tun sak än en tjock sak av samma material. Elasticitetsmodulen och densiteten togs med eftersom att de påverkar hur styvt materialet som ska svänga är.

    Från början var massan med istället för densiteten men efter ganska mycket resonemang byttes den ut mot densitet.

    \newpage
    \section{Utförande \label{utforande}}
    Mätningarna som beskrevs under rubrik \ref{sec:setup} gjordes för en mängd balkar med olika egenskaper och resultatet av alla mätningar kan ses i bilaga 1. 

    Det första resultatet som visades av mätningarna var att balkens bredd inte spelade någon roll för svängningarnas frekvens vilket gjorde att bredden togs bort ur ansatsen. Den nya ansatsen såg ut såhär: 

    \begin{equation}\label{finalHypo} l^x \cdot E^y \cdot t^z \cdot \rho^v \cdot k=T \end{equation}

    \subsection{Elasticitet och densitets inverkan}
    Genom att göra dimensionsanalys på \eqref{finalHypo} bestämdes följande samband:

    \[ L^x \cdot E^y \cdot L^z \cdot D^v=T \iff \]

    \[ L^x + (M L^{-1} T^{-2})^y + L^z + (M L^{-3})^v=T \iff \]

    \[ L^x + M^y L^{-y} T^{-2y} + L^z + M^v L^{-3v}=T \]

    Vilket ger i sin tur följande ekvationssystem:

    \begin{equation}
        \left\{
        \begin{array}
            {rcl}
            0 &=& x - y + z - 3v\\
            0 &=& y + v \\
            1 &=& -2y
        \end{array}
        \iff
        \left\{
        \begin{array}
            {rcl}
            0 &=& x - y + z - 3v\\
            v &=& -y \\
            -\frac{1}{2} &=& y
        \label{solvedEqSystem}
        \end{array}
    \end{equation}

    Från ekvationssystemet framgår värden på $v$ och $y$ men $x$ och $z$ måste fortfarande beräknas.

    \subsection{Tjocklek och längds inverkan \label{se:LenWidthProcess}}
    För att bestämma $x$ användes åter igen ansatsen för uttrycket.\eqref{finalHypo} Alla värden utom längden hölls konstanta och längdens effekt på frekvensen mättes upp. Om alla variabler utom längd är konstanta kan ansatsen skrivas om på följande sätt.

    \[ l^x \cdot c = T \iff \]

    \[ ln(l^x) + ln(c) = ln(T) \iff \]

    \[ ln(l^x) + ln(c) = ln(T) \iff \]
    
    \begin{equation} 
        x \cdot ln(l) + ln(c) = ln(T)
        \label{lnLenFunc}
    \end{equation}

    Ekvation \eqref{lnLenFunc} kan ses som en linjär funktion och genom att anpassa en linje efter mätresultaten kan ett uttryck för $x$ bestämmas. Detta gjordes med google drive sheets funktion för att anpassa en trendlinje efter data i en tabell. Med samma resonemang kan även ett uttryck för exponenten för tjockleken bestämmas enligt följande.

    \[ t^z \cdot c = T \iff \]

    \[ ln(t^z) + ln(c) = ln(T) \iff \]

    \[ ln(t^z) + ln(c) = ln(T) \iff \]
    
    \begin{equation} 
        z \cdot ln(t) + ln(c) = ln(T)
        \label{lnThickFunc}
    \end{equation}

    Genom att använda de $x$ och $z$ som bestämts samt ekvationssystem \label{solvedEqSystem} kan alla exponenter i ansatsen bestämmas. 
    
        \subsection{Konstant \label{se:ConstantProcess}}
    Slutligen återstår endast att bestämma konstanten k. För att göra detta användes åter igen linjär anpassning. Det beräknade värdet av slututtrycket plottades mot det uppmätta värdet av periodtiden och riktningskoefficienten för den linje som uppskattar funktionen gav värdet på k.


    \newpage
    \section{Resultat}

    \subsection{Breddens inverkan}
    Det första resultatet som framgick av mätningarna var att balkens bredd inte påverkade svängningarnas frekvens. Som tabell \ref{tb:noWidth} visar ger två balkar med samma egenskaper men olika bredd samma svängningstid.

    \begin{table}[H]
        \centering
        \begin{tabular}[pos]{c | c | c | c | c}
            \textbf{Bredd}[$m$] & \textbf{Frekvens}[$Hz$] & \textbf{Längd}[$m$] & \textbf{Tjocklek}[$m$] & \textbf{Material}\\
            \hline
            0.004 & 10.9 & 0.5 &  0.005 & mässing\\ 
            0.002 & 10.9 & 0.5 &  0.005 & mässing\\

            
        \end{tabular}
        \caption{Frekvens som funktion av balkens bredd\label{tb:noWidth}}
    \end{table}

    \subsection{Beräkning av längden och tjocklekens exponenter}

    \begin{table}[H]
        \centering
        \begin{tabular}[pos]{c | c | c | c}
            \textbf{Längd $m$ } & \textbf{Periodtid} $s$ & \textbf{ln($m$)} & \textbf{ln($T$)}\\
            \hline
            1.3 & 0.041 & -1,2039 &  -3,173\\ 
            0.4 & 0.072 & -0,9162 &  -2,621\\
            0.5 & 0.112 & -0,6931 &  -2,186\\
            0.6 & 0.158 & -0,5108 &  -1,840\\
            0.7 & 0.216 & -0,3566 &  -1,528\\
            0.8 & 0.281 & -0,2231 &  -1,266\\

            
        \end{tabular}
        \caption{Periodtid som funktion av balkens längd\label{lentable}}
    \end{table}

    \begin{figure}[H]
        \centering
        \includegraphics[width=0.75\textwidth]{lenPlot}
        \caption{Uppskattning av $ln(periodtid)$ som funktion av $ln(längd)$\label{lenPlotTable}}
        
    \end{figure}

    Resultatet av mätningar av balkar med identiska egenskaper men olika längd redovisas i tabell \ref{lentable}. Balken som användes var gjord av aluminium, hade tjockleken $3 mm$ och bredden $20 mm$. Genom att använda processen som beskrevs under rubrik \ref{se:LenWidthProcess} beräknades exponenten $x$ och resultatet visas i figur \ref{lenPlotTable}. Resultatet av beräkningen var att \[x = 1.943 \approx 2 \]
    
    \begin{table}[H]
        \centering
        \begin{tabular}[pos]{c | c | c | c}
            \textbf{Längd $m$ } & \textbf{Periodtid} $s$ & \textbf{ln($m$)} & \textbf{ln($T$)}\\
            \hline
            0.002 & 0.0568 & -6.214 &  -2.867\\ 
            0.003 & 0.0362 & -5.809 &  -3.317\\
            0.004 & 0.0287 & -5.521 &  -3.549\\
            0.005 & 0.0229 & -5.298 &  -3.775\\
            0.006 & 0.0195 & -5.115 &  -3.935\\
        \end{tabular}
        \caption{\textit{Periodtid som funktion av balkens tjocklek\label{thickTable}}}
    \end{table}

    \begin{figure}[H]
        \centering
        \includegraphics[width=0.75\textwidth]{thickPlot}
        \caption{Uppskattning av $ln(periodtid)$ som funktion av $ln(längd)$\label{thickPlotImg}}
    \end{figure}
    Med samma process beräknades $z$. Resultatet av mätningar på balkar med varierande tjocklek redovisas i tabell \ref{thickTable}. Mätningarna gjordes med en mässingsbalk med längden $50 cm$. Resultatet av den linjära anpassningen redovisas i figur \ref{thickPlotImg} och visade att \[z = -0.963 \approx -1\]

    För att kontrollera resultatet sätts värdena på $x$ och $z$ in i ekvationssystem \ref{solvedEqSystem}
    \[
        \left\{
        \begin{array}
            {rcl}
            0 &=& x - y + z - 3v\\
            v &=& -y \\
            -\frac{1}{2} &=& y
        \end{array}
        \iff
    \]

    \begin{equation}
        \label{eq:eqCheck}
        \left\{
        \begin{array}
            {rcl}
            0 &=& 2 + \frac{1}{2} - 1 - \frac{3}{2}\\
            v &=& \frac{1}{2} \\
            -\frac{1}{2} &=& y
        \end{array}
    \end{equation}
 
    Som \eqref{eq:eqCheck} visar stämmer de uppmätta värdena med ansatsen som gjorts vilket ger följande uttryck för balkens svängningstid

    \begin{equation}
        l^2 \cdot E^{-\frac{1}{2}} \cdot t^{-1} \cdot \rho^\frac{1}{2} \cdot k =T : k \in \mathbb{R} = 
        T = \frac{l^2 \cdot \sqrt{\rho}}{\sqrt{E} \cdot{t^{-1}}} \cdot k 
    \end{equation}

    \subsection{Beräkning av konstanten k samt slutkontroll}
    För att bestämma konstanten k följdes processen som beskrevs under rubrik \ref{se:ConstantProcess}. Mätvärdena plottades mot det uppmätta värdet på periodtiden och riktningskoefficienten gav värdet på k.

    \begin{figure}[H]
        \centering
        \includegraphics[width=0.75\textwidth]{kPlot}
        \caption{Uppskattning av uppmätt periodtid som funktion av värdet på uttrycket utan konstantterm}
        \label{constantGraph}
    \end{figure}
    Resultatet blev att konstanten $k = 6.405$ vilket gör att slutgiltiga uttrycket för svängningstiden är


    \begin{equation}
        T = \frac{l^2 \cdot \sqrt{\rho}}{\sqrt{E} \cdot{t^{-1}}} \cdot 6.4
        \label{eq:finalExpr}
    \end{equation}

    \subsection{Felgräns}
    Frekvensmätaren hade bara en noggrannhet på 2 värdesiffror vid vissa av mätningarna vilket minskar precisionen på resultatet ganska mycket. Även längden och tjockleken mättes bara med en eller två värdesiffrors felmarginal vilket även det kan ha påverkat slutresultatet. Om konstanten beräknades individuellt för varje mätresultat fick den ett värde som varierade mellan 7.1 och 6.2 vilket är en väldigt stor variation.

    Även precisionen på exponenterna $x$ och $z$ visade verkar vara ganska låg. Det oavrundade värdet på $x$ var 1.943 vilket är en bit ifrån 2.

    \newpage
    \section{Slutsats och diskussion}
    
    Uttrycket för svängningstiden visade sig vara följande funktion:
    \[
        T = \frac{l^2 \cdot \sqrt{\rho}}{\sqrt{E} \cdot{t}} \cdot 6.4
    \]

    Som man kan se i figur \ref{constantGraph} verkar grunduttrycket stämma ganska bra. Dock är några av mätpunkterna en ganska lång bit ifrån funktionslinjen. Om konstantuttrycket för alla mätvärden beräknas individuellt ligger ett värde på 7.1 vilket är en bra bit ifrån den beräknade konstanten. 

    En trolig anledning till detta är att frekvensmätaren inte var speciellt noggrann i denna situationen. Under mätningarna varierade frekvensen relativt mycket och i de flesta fallen var noggrannheten så låg att vi enbart kunde bestämma två värdesiffror. Man kan även se på figur \ref{constantGraph} att felet verkar bli större vid högre periodtider. Detta går emot teorin om att problemet ligger i frekvensmätningen då de största problemen verkade vara vid höga frekvenser.

    \newpage
    \section{Bilagor}

    1. Mätdata: matdata.ods
        
    
 \end{document}


 %notes
 \iffalse
 \fi
	\documentclass[a4paper]{article}
	\usepackage[utf8]{inputenc} %Make sure all UTF8 characters work in the document
	\usepackage[T1]{fontenc}

	\usepackage{listings} %Add code sections
	\usepackage{color}
	\usepackage{textcomp}
	\usepackage{url}
	\definecolor{listinggray}{gray}{0.9}
	\definecolor{lbcolor}{rgb}{0.9,0.9,0.9}
	\lstset{
	backgroundcolor=\color{lbcolor},
	tabsize=4,
	rulecolor=,
	basicstyle=\scriptsize,
	upquote=true,
	aboveskip={1.5\baselineskip},
	columns=fixed,
	showstringspaces=false,
	extendedchars=true,
	breaklines=true,
	prebreak = \raisebox{0ex}[0ex][0ex]{\ensuremath{\hookleftarrow}},
	frame=single,
	showtabs=false,
	showspaces=false,
	showstringspaces=false,
	identifierstyle=\ttfamily,
	keywordstyle=\color[rgb]{0,0,1},
	commentstyle=\color[rgb]{0.133,0.545,0.133},
	stringstyle=\color[rgb]{0.627,0.126,0.941},
	}

	%Set page size
	\usepackage{geometry}
	\geometry{margin=3cm}

	\usepackage{amssymb,amsmath}
	\usepackage{mathtools}
	\usepackage{float}
	\usepackage{caption}
	\captionsetup[table]{name=Tabell}
	\captionsetup[figure]{name=Figur}
	\usepackage{graphicx}

	%Set content name
	\renewcommand*\contentsname{Innehållsförteckning}

	\usepackage[yyyymmdd]{datetime}
	\renewcommand{\dateseparator}{--}

	\usepackage{tikz}

	\usepackage{parskip} %used for \setlength
	\setlength{\parindent}{15pt} %Add line break after each paragraph
	\raggedright %Right justify text
	\title{R-laboration: Svängande balk}
	\author{Frans Skarman}
	\date{November 2015}

	%Graphics

	%\def \zeleSource {Zele, John M, \textit{Python as a First Language} [www] <\url{http://mcsp.wartburg.edu/zelle/python/python-first.html}> hämtad 2015-11-04}
	\begin{document}
	\begin{titlepage}
	\begin{tikzpicture}[f]
	\draw (0, 0) node[inner sep=0] {\includegraphics[width=1\textwidth]{titleTopBackground}};
	\draw (0, 0) node {\textcolor{white}{\centering\huge\textbf{{LABORATIONSRAPPORT}}}};
	\end{tikzpicture}
	\begin{minipage}[t]{7cm}
	\flushleft
	\textbf{Rapportskrivare:} \\
	Frans Skarman 950908-5552 \\
	\ \ \ \ \ Morotsvägen 5 \\
	\ \ \ \ \ SE-582 75 Linköping \\
	\ \ \ \ \ [email protected]

	\vspace{0.5cm}

	\textbf{Medlaborant:} \\
	Robin Sliwa 950221-7657 \\
	\ \ \ \ \ [email protected]
	\end{minipage}
	\hfill
	\begin{minipage}[t]{7cm}
	\flushright
	\today
	\end{minipage}



	\vspace{2cm}
	\centering
	{\huge\bfseries R-laboration: Svängande balk\par}
	{\Large\itshape Mekanik för D (TFYY68)\par}
	\vfill

	\vfill

	% Bottom of the page
	\raggedright
	\begin{tikzpicture}[f]
	\draw (-10, 0) node[inner sep=0] {\includegraphics[width=1\textwidth]{titleBottomBackground}};
	\draw (-12, -1) node {\textcolor{white}{\centering\large\textbf{{Tekniska högskolan vid Linköpings Universitet}}}};
	\draw (-12, -1.5) node {\textcolor{white}{\centering\large\textbf{{Institutionen för fysik, kemi och biologi(IFM)}}}};
	\end{tikzpicture}
	\end{titlepage}
	\thispagestyle{empty}
	\newpage
	\section*{Sammanfattning}
	Den här rapporten beskriver hur ett uttryck för svängningstiden för en svängande togs fram experimentellt. En ansats togs fram där olika egenskaper som skulle kunna påverka svängningstiden togs med. Sedan gjordes en mängd mätningar med olika balkar och resultatet redovisades i en tabell. Utifrån mätningen ändrades ansatsen lite och sedan beräknades ett korrekt uttryck utifrån den. Den slutgiltiga formeln för svängningstiden blev:
	\[
	T = \6.4 \cdot frac{l^2 \cdot \sqrt{\rho}}{\sqrt{E} \cdot{t^{-1}}}
	\]
	Dock visade det sig att precisionen på konstanten är ganska låg.
	\thispagestyle{empty}
	\newpage
	\tableofcontents
	\thispagestyle{empty}
	\newpage
	\section{Inledning}
	Den här rapporten beskriver hur ett uttryck för svängningstiden av en svängande metallbalk bestämdes experimentellt. Laborationen gjordes som en del av kursen TFYY68 Mekanik på Linköpings universitet.
	\newpage

	\section{Experimentell uppställning \label{sec:setup}}
	\begin{figure}[h]
	\centering
	\includegraphics[width=0.75\textwidth]{setup}
	\caption{Illustration av experimentupsättning\label{fig:setup}}

	\end{figure}

	En balk av ett känt material, bredd och tjocklek spändes upp på två fasta punkter så att en viss längd av balken hängde löst på ena sidan. Balkens lösa ända drogs uppåt eller nedåt och släpptes sedan lös för att svänga fritt. En digital frekvensmätare mätte svängningens (dubbla) frekvens vilket sedan räknades om till svängningstid. Uppställningen illustreras i figur \ref{fig:setup}

	De olika variablerna och beteckningarna som används senare beskrivs i tabell \ref{unitTable}. Utöver de enheterna används även $k$ som är en reell konstant.

	I vissa delberäkningar används även en godtycklig konstant som betecknas med $c$
	\begin{table}[h]
	\centering
	\begin{tabular}[pos]{c \| c \| c \| c}
	\textbf{beteckning} & \textbf{Enhet} & \textbf{Storhet} & \textbf{Beskrivning}\\
	\hline
	$t$ & $m$ & $L$ & Balkens tjocklek som är parallell med svängningen \\
	$l$ & $m$ & $L$ & Längden av den delen av balken som sticker utanför fästet \\
	$b$ & $m$ & $L$ & Balkens bredd som är vinkelrät mot svängningen \\
	$E$ & $\frac{kg}{m \cdot s^2}$ & $M L^{-1} T^{-2}$ & Materialets elasticitetsmodul\\
	$\rho$ & $\frac{kg}{m^3}$ & $LM^{-3}$ & Materialets densitet\\

	\end{tabular}
	\caption{\textit{Beskrivning av storheter och enheter\label{unitTable}}}
	\end{table}






	\newpage

	\section{Ansats}
	Ansatsen som gjordes var att svängningstiden skulle påverkas av balkens tjocklek och bredd, materialets elasticitetsmodul och densitet eller massa samt längden av den lösa delen av balken. Det ger följande uttryck för balkens utsträckning

	\begin{displaymath}
	l^x \cdot E^y \cdot t^z \cdot b^u \cdot \rho^v \cdot k=T : k \in \mathbb{R}
	\end{displaymath}

	Den här ansatsen valdes baserat på formeln för utsträckningen av en balk då en tyngt hängs längst ut. Den formeln innehåller alla variabler som togs med i nuvarande ansats samt massan på objektet som hängs och tyngdaccelerationen $g$. Eftersom att svängningstiden är en oscillerande rörelse som uppstår på grund av balkens egna elasticitet så togs tyngdaccelerationen bort från ansatsen.

	Längden troddes påverka eftersom att en längre balk ger större moment och mer massa som måste påverkas av "svängingskraften". Bredden och tjockleken togs med eftersom att de ger en större volym som måste böjas och det generellt är lättare att böja en tun sak än en tjock sak av samma material. Elasticitetsmodulen och densiteten togs med eftersom att de påverkar hur styvt materialet som ska svänga är.

	Från början var massan med istället för densiteten men efter ganska mycket resonemang byttes den ut mot densitet.

	\newpage
	\section{Utförande \label{utforande}}
	Mätningarna som beskrevs under rubrik \ref{sec:setup} gjordes för en mängd balkar med olika egenskaper och resultatet av alla mätningar kan ses i bilaga 1.

	Det första resultatet som visades av mätningarna var att balkens bredd inte spelade någon roll för svängningarnas frekvens vilket gjorde att bredden togs bort ur ansatsen. Den nya ansatsen såg ut såhär:

	\begin{equation}\label{finalHypo} l^x \cdot E^y \cdot t^z \cdot \rho^v \cdot k=T \end{equation}

	\subsection{Elasticitet och densitets inverkan}
	Genom att göra dimensionsanalys på \eqref{finalHypo} bestämdes följande samband:

	\[ L^x \cdot E^y \cdot L^z \cdot D^v=T \iff \]

	\[ L^x + (M L^{-1} T^{-2})^y + L^z + (M L^{-3})^v=T \iff \]

	\[ L^x + M^y L^{-y} T^{-2y} + L^z + M^v L^{-3v}=T \]

	Vilket ger i sin tur följande ekvationssystem:

	\begin{equation}
	\left\{
	\begin{array}
	{rcl}
	0 &=& x - y + z - 3v\\
	0 &=& y + v \\
	1 &=& -2y
	\end{array}
	\iff
	\left\{
	\begin{array}
	{rcl}
	0 &=& x - y + z - 3v\\
	v &=& -y \\
	-\frac{1}{2} &=& y
	\label{solvedEqSystem}
	\end{array}
	\end{equation}

	Från ekvationssystemet framgår värden på $v$ och $y$ men $x$ och $z$ måste fortfarande beräknas.

	\subsection{Tjocklek och längds inverkan \label{se:LenWidthProcess}}
	För att bestämma $x$ användes åter igen ansatsen för uttrycket.\eqref{finalHypo} Alla värden utom längden hölls konstanta och längdens effekt på frekvensen mättes upp. Om alla variabler utom längd är konstanta kan ansatsen skrivas om på följande sätt.

	\[ l^x \cdot c = T \iff \]

	\[ ln(l^x) + ln(c) = ln(T) \iff \]

	\[ ln(l^x) + ln(c) = ln(T) \iff \]

	\begin{equation}
	x \cdot ln(l) + ln(c) = ln(T)
	\label{lnLenFunc}
	\end{equation}

	Ekvation \eqref{lnLenFunc} kan ses som en linjär funktion och genom att anpassa en linje efter mätresultaten kan ett uttryck för $x$ bestämmas. Detta gjordes med google drive sheets funktion för att anpassa en trendlinje efter data i en tabell. Med samma resonemang kan även ett uttryck för exponenten för tjockleken bestämmas enligt följande.

	\[ t^z \cdot c = T \iff \]

	\[ ln(t^z) + ln(c) = ln(T) \iff \]

	\[ ln(t^z) + ln(c) = ln(T) \iff \]

	\begin{equation}
	z \cdot ln(t) + ln(c) = ln(T)
	\label{lnThickFunc}
	\end{equation}

	Genom att använda de $x$ och $z$ som bestämts samt ekvationssystem \label{solvedEqSystem} kan alla exponenter i ansatsen bestämmas.

	\subsection{Konstant \label{se:ConstantProcess}}
	Slutligen återstår endast att bestämma konstanten k. För att göra detta användes åter igen linjär anpassning. Det beräknade värdet av slututtrycket plottades mot det uppmätta värdet av periodtiden och riktningskoefficienten för den linje som uppskattar funktionen gav värdet på k.


	\newpage
	\section{Resultat}

	\subsection{Breddens inverkan}
	Det första resultatet som framgick av mätningarna var att balkens bredd inte påverkade svängningarnas frekvens. Som tabell \ref{tb:noWidth} visar ger två balkar med samma egenskaper men olika bredd samma svängningstid.

	\begin{table}[H]
	\centering
	\begin{tabular}[pos]{c \| c \| c \| c \| c}
	\textbf{Bredd}[$m$] & \textbf{Frekvens}[$Hz$] & \textbf{Längd}[$m$] & \textbf{Tjocklek}[$m$] & \textbf{Material}\\
	\hline
	0.004 & 10.9 & 0.5 & 0.005 & mässing\\
	0.002 & 10.9 & 0.5 & 0.005 & mässing\\


	\end{tabular}
	\caption{Frekvens som funktion av balkens bredd\label{tb:noWidth}}
	\end{table}

	\subsection{Beräkning av längden och tjocklekens exponenter}

	\begin{table}[H]
	\centering
	\begin{tabular}[pos]{c \| c \| c \| c}
	\textbf{Längd $m$ } & \textbf{Periodtid} $s$ & \textbf{ln($m$)} & \textbf{ln($T$)}\\
	\hline
	1.3 & 0.041 & -1,2039 & -3,173\\
	0.4 & 0.072 & -0,9162 & -2,621\\
	0.5 & 0.112 & -0,6931 & -2,186\\
	0.6 & 0.158 & -0,5108 & -1,840\\
	0.7 & 0.216 & -0,3566 & -1,528\\
	0.8 & 0.281 & -0,2231 & -1,266\\


	\end{tabular}
	\caption{Periodtid som funktion av balkens längd\label{lentable}}
	\end{table}

	\begin{figure}[H]
	\centering
	\includegraphics[width=0.75\textwidth]{lenPlot}
	\caption{Uppskattning av $ln(periodtid)$ som funktion av $ln(längd)$\label{lenPlotTable}}

	\end{figure}

	Resultatet av mätningar av balkar med identiska egenskaper men olika längd redovisas i tabell \ref{lentable}. Balken som användes var gjord av aluminium, hade tjockleken $3 mm$ och bredden $20 mm$. Genom att använda processen som beskrevs under rubrik \ref{se:LenWidthProcess} beräknades exponenten $x$ och resultatet visas i figur \ref{lenPlotTable}. Resultatet av beräkningen var att \[x = 1.943 \approx 2 \]

	\begin{table}[H]
	\centering
	\begin{tabular}[pos]{c \| c \| c \| c}
	\textbf{Längd $m$ } & \textbf{Periodtid} $s$ & \textbf{ln($m$)} & \textbf{ln($T$)}\\
	\hline
	0.002 & 0.0568 & -6.214 & -2.867\\
	0.003 & 0.0362 & -5.809 & -3.317\\
	0.004 & 0.0287 & -5.521 & -3.549\\
	0.005 & 0.0229 & -5.298 & -3.775\\
	0.006 & 0.0195 & -5.115 & -3.935\\
	\end{tabular}
	\caption{\textit{Periodtid som funktion av balkens tjocklek\label{thickTable}}}
	\end{table}

	\begin{figure}[H]
	\centering
	\includegraphics[width=0.75\textwidth]{thickPlot}
	\caption{Uppskattning av $ln(periodtid)$ som funktion av $ln(längd)$\label{thickPlotImg}}
	\end{figure}
	Med samma process beräknades $z$. Resultatet av mätningar på balkar med varierande tjocklek redovisas i tabell \ref{thickTable}. Mätningarna gjordes med en mässingsbalk med längden $50 cm$. Resultatet av den linjära anpassningen redovisas i figur \ref{thickPlotImg} och visade att \[z = -0.963 \approx -1\]

	För att kontrollera resultatet sätts värdena på $x$ och $z$ in i ekvationssystem \ref{solvedEqSystem}
	\[
	\left\{
	\begin{array}
	{rcl}
	0 &=& x - y + z - 3v\\
	v &=& -y \\
	-\frac{1}{2} &=& y
	\end{array}
	\iff
	\]

	\begin{equation}
	\label{eq:eqCheck}
	\left\{
	\begin{array}
	{rcl}
	0 &=& 2 + \frac{1}{2} - 1 - \frac{3}{2}\\
	v &=& \frac{1}{2} \\
	-\frac{1}{2} &=& y
	\end{array}
	\end{equation}

	Som \eqref{eq:eqCheck} visar stämmer de uppmätta värdena med ansatsen som gjorts vilket ger följande uttryck för balkens svängningstid

	\begin{equation}
	l^2 \cdot E^{-\frac{1}{2}} \cdot t^{-1} \cdot \rho^\frac{1}{2} \cdot k =T : k \in \mathbb{R} =
	T = \frac{l^2 \cdot \sqrt{\rho}}{\sqrt{E} \cdot{t^{-1}}} \cdot k
	\end{equation}

	\subsection{Beräkning av konstanten k samt slutkontroll}
	För att bestämma konstanten k följdes processen som beskrevs under rubrik \ref{se:ConstantProcess}. Mätvärdena plottades mot det uppmätta värdet på periodtiden och riktningskoefficienten gav värdet på k.

	\begin{figure}[H]
	\centering
	\includegraphics[width=0.75\textwidth]{kPlot}
	\caption{Uppskattning av uppmätt periodtid som funktion av värdet på uttrycket utan konstantterm}
	\label{constantGraph}
	\end{figure}
	Resultatet blev att konstanten $k = 6.405$ vilket gör att slutgiltiga uttrycket för svängningstiden är


	\begin{equation}
	T = \frac{l^2 \cdot \sqrt{\rho}}{\sqrt{E} \cdot{t^{-1}}} \cdot 6.4
	\label{eq:finalExpr}
	\end{equation}

	\subsection{Felgräns}
	Frekvensmätaren hade bara en noggrannhet på 2 värdesiffror vid vissa av mätningarna vilket minskar precisionen på resultatet ganska mycket. Även längden och tjockleken mättes bara med en eller två värdesiffrors felmarginal vilket även det kan ha påverkat slutresultatet. Om konstanten beräknades individuellt för varje mätresultat fick den ett värde som varierade mellan 7.1 och 6.2 vilket är en väldigt stor variation.

	Även precisionen på exponenterna $x$ och $z$ visade verkar vara ganska låg. Det oavrundade värdet på $x$ var 1.943 vilket är en bit ifrån 2.

	\newpage
	\section{Slutsats och diskussion}

	Uttrycket för svängningstiden visade sig vara följande funktion:
	\[
	T = \frac{l^2 \cdot \sqrt{\rho}}{\sqrt{E} \cdot{t}} \cdot 6.4
	\]

	Som man kan se i figur \ref{constantGraph} verkar grunduttrycket stämma ganska bra. Dock är några av mätpunkterna en ganska lång bit ifrån funktionslinjen. Om konstantuttrycket för alla mätvärden beräknas individuellt ligger ett värde på 7.1 vilket är en bra bit ifrån den beräknade konstanten.

	En trolig anledning till detta är att frekvensmätaren inte var speciellt noggrann i denna situationen. Under mätningarna varierade frekvensen relativt mycket och i de flesta fallen var noggrannheten så låg att vi enbart kunde bestämma två värdesiffror. Man kan även se på figur \ref{constantGraph} att felet verkar bli större vid högre periodtider. Detta går emot teorin om att problemet ligger i frekvensmätningen då de största problemen verkade vara vid höga frekvenser.

	\newpage
	\section{Bilagor}

	1. Mätdata: matdata.ods


	\end{document}


	%notes
	\iffalse
	\fi