由於 (1 + 1/n)ⁿ 是二項式的 n 次方，要了解它的特性（如剛才展示的上下限），需要用上二項式定理。上面不等式最具技巧的一步在於藍色分母從 n! 變成 2ⁿ⁻¹。 小問題：為何上標有 "-1"？ 重點在於 n! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋯ (n - 1) n 中，當 n! 變成 (n + 1)! 時，額外乘上的數字 n + 1 是隨 n 而增長，但 2ⁿ 變成 2ⁿ⁺¹ 時，額外乘上的數字永遠是 2，所以當 n「足夠大」（n > 3）時，n! > 2ⁿ。 取倒數後不等式反轉，於是出現 1/n! < 1/2ⁿ，然後就可以運用等比數列和公式，為 (1 + 1/n)ⁿ 給出上限。
上面實驗發現 n 越大，(1 + 1/n)ⁿ 也越大。即若 m < n，(1 + 1/m)ᵐ < (1 + 1/n)ⁿ。這種數列我們叫__嚴格遞增數列__。（「嚴格遞增」比「單調遞增」「嚴格」，只接受「>」，不接受「=」。） 練習：試證 (1 + 1/n)ⁿ < (1 + 1/(n + 1))ⁿ⁺¹ 提示：
- 如上面般展開 (1 + 1/n)ⁿ，分離最簡單兩項。
- 其餘 n - 1 項中，調整分子分母配對，先把 1 / k! 放在左邊。
