fmap f x <*> fmap g y = (\x y -> f x (g y)) <$> x <*> y

FmapProof.hs

fmap f x <*> fmap g y
(pure f <*> x) <*> (pure g <*> y)                        -- definition of fmap
pure (.) <*> (pure f <*> x) <*> pure g <*> y             -- composition
pure (.) <*> pure (.) <*> pure f <*> x <*> pure g <*> y  -- composition
pure ((.) .) <*> pure f <*> x <*> pure g <*> y           -- homomorphism
pure ((.) . f) <*> x <*> pure g <*> y                    -- homomorphism
pure ($ g) <*> (pure ((.) . f) <*> x) <*> y              -- interchange
pure (.) <*> pure ($ g) <*> pure ((.) . f) <*> x <*> y   -- composition
pure (($ g) .) <*> pure ((.) . f) <*> x <*> y            -- homomorphism
pure (($ g) . ((.) . f)) <*> x <*> y                     -- homomorphism
pure ((. g) . f) <*> x <*> y                             -- i cheated and used pointfree.io
(\x y -> f x (g y)) <$> x <*> y                          -- definition of (.) and <$>