Debunking 9

Definíció.

Aritmetikiai függvényen a valós számok egy részhalmazán értelmezett természetes szám értékű függvényt értünk.
Sorozaton a természetes számokról a természetes számokba képező függvényt értünk (0-t beleértve a természetes számok közé).
A számjegyösszeg-függvény, $sz(n)$ a következő aritmetikai függvény: $sz(n) = \sum_{i\in X} a_i$, ahol $n = \sum_{i\in X} 10^i a_i$, $X$ az egész számok egy nemüres, véges halmaza, és minden $i \in X$-re $1 \le a_i \le 9$.
Egy $s(n)$ sorozat stabil, ha van olyan $k$, hogy $m,n \ge k$-ra $s(n) = s(m)$; ez esetben az $s(n), n \ge k$ értéket a sorozat stabil értéknek hívjuk.
Az iterált számjegyösszeg-függvény, $sz^*(n)$ a következő aritmetikai függvény:
- adott $n$-hez képezzük a következő $s_n$ sorozatot:
  - $s_n(0) = n$,
  - $s_n(k) = sz(s_n(k-1))$ ahol $k \ge 1$;
- $sz^*(n)$ az $s_n$ sorozat stabil értéke.

Lemma. (A fenti definíció értelmességéről.)

Az $sz(n)$ ill. $sz^*(n)$ függvények értelmezési tartománya azon pozitív számok halmaza, melyeknek létezik véges tizedestört felírása.
Ha $n$ pozitív egész, $sz(n) \le n$; továbbá ha $n \ge 10$, $sz(n) < n$.
$sz^*(n)$ értékei az $1,...,9$ számok közül kerülnek ki.

Bizonyítás. 1.-nek az $sz(n)$-re vonatkozó része triviális, hiszen a függvény értéke pont a véges tizedestört-alak alapján van kifejezve. A pozitivitást garantálja, hogy az $X$ indexhalmaz nemüres és az $a_i$ együtthatók pozitívak.

Lássuk 2.-t. Ha $n$ pozitív egész, felírható $n = \sum_{i\in X} 10^i a_i$ alakban, ahol $X$ véges halmaza a természetes számoknak. Mivel ha $i$ természetes szám, $10^i \ge 1$, $n = \sum_{i\in X} 10^i a_i \ge \sum_{i\in X} a_i = sz(n)$. Továbbá, ha $n \ge 10$, akkor $X$ tartalmaz pozitív elemet is. Mivel $i > 0$-ra $10^i > 1$, azt kapjuk, hogy $n = \sum_{i\in X} 10^i a_i > \sum_{i\in X} a_i = sz(n)$.

Innen adódik 1.-nek az a részállítása, hogy $sz^(n)$ értelmezve van pozitív egészekre: 2. szerint az $s_n: n, sz(n), sz(sz(n)), sz(sz(sz(n))), ...$ sorozat pozitív egészek csökkenő sorozata, amely szügségképpen stabil, tehát az $sz^(n)$ definíciójában szereplő stabil érték létezik. Mivel $m\ge 10$-re $sz(m) < m$, az $s_n$ sorozat stabil értéke nem lehet $10$ vagy annál nagyobb. Azaz ez a stabil érték, ami $sz^*(n)$ értéke, az $1,...,9$ számok közül kerül ki. Megvan tehát 3. pozitív egészekre vonatkozó részállítása is.

Marad az, hogy belássuk a fentieket az összes véges tizedestört alakban felírható szám körében is: tehát hogy $sz^(n)$ értelmezett a körükben, és értéke $1$ és $9$ közötti. Vegyük észre, hogy $sz(n) = sz(10^k n)$, tehát $sz^(n) = sz^(10^k n)$; s ha $n$ véges tizedestört alakban felírható pozitív szám, akkor megfelelő $k$-ra $10^k n$ pozitív egész, amiről már tudjuk, hogy ott $sz^$ ott értelmezve van és értéke $1$ és $9$ közötti egész. $\blacksquare$

Definíció. Az egész számok körében definiáljuk a következőket.

$a$ osztja $b$-t, ha van olyan $k$, hogy $ka = b$. Jelölésben: $a \mid b$.
$a$ azonos maradékú $b$-vel $m$ szerint, ha $a$ és $b$ $m$-mel végzett maradékos osztás után adódó maradéka ugyanaz; formálisan: $m \mid a - b$. Ezt a relációt a következőképpen jelöljük: $a \equiv b \mod m$.

Konvenció: egyenlőség és adott $m$ szerinti azonos maradékúségi relációk felsorolása esetén elég a $\mod m$-et egyszer, a felsorolás végén kiírni. Pl. $a = b + c$, $b \equiv d = e + f$, $f \equiv 4 \mod m$.

Lemma. (Az azonos maradékúság alapvető tulajdonságai.)

$a \mid b$ ekvivalens azzal, hogy $b \equiv 0 \mod a$.
Ún. ekvivalencia-reláció tulajdonságok:
- $a \equiv a \mod m$;
- ha $a \equiv b \mod m$, akkor $b \equiv a \mod m$;
- ha $a \equiv b \equiv c \mod m$, akkor $a \equiv c \mod m$.
Művelettartóság: ha $a \equiv a'$, $b \equiv b' \mod m$, akkor
- $a + b \equiv a' + b' \mod m$;
- $-a \equiv -a' \mod m$;
- $ab \equiv a'b' \mod m$.

Bizonyítás. A bizonyítást az olvasóra hagyjuk. $\blacksquare$

Következmény. Tetszőleges (összeadás, kivonás és szorzásból felépített) aritmetikai kifejezésre tejlesül, hogy ha a benne szereplő értékeket (konstansokat vagy változókat) kicseréljük olyan értékekre, melyekről tudható, hogy az új értékek azonos maradékúak a régiekkel $m$ szerint, akkor az eredeti és a csere utáni kifejezések is azonos maradékúak $m$ szerint.

Bizonyítás. A bizonyítást az olvasóra hagyjuk. $\blacksquare$

Tétel. $sz(n) \equiv n \mod 9$.

Bizonyítás. Vegyük észre, hogy $10 \equiv 1 \mod 9$. Legyen $n$ decimális felírása $\sum_{i\in X} 10^i a_i$.

Ekkor tehát a fenti következményt használva, $n = \sum_{i\in X} 10^i a_i \equiv \sum_{i\in X} 1^i a_i = sz(n) \mod 9$. $\blacksquare$

Következmény. Ha $k$ pozitív egész, $n$ természetes szám,

$9 \mid sz(k/2^n\cdot 9)$;
$sz^*(k/2^n\cdot 9) = 9$.

Bizonyítás.

Ami az 1.-es pontot illeti: vegyük először az $n = 0$ (egészértékű) esetet. Ekkor $sz(k\cdot 9) \equiv k\cdot 9 \equiv 0 \mod 9$, azaz $9 \mid sz(k\cdot 9)$.

Most nézzük akkor tetszőleges $n$-re. $sz(k/2^n\cdot 9) = sz(10^n\cdot(k/2^n\cdot 9)) = sz(k\cdot 5^n\cdot 9)$, amivel visszavezettük az állítást a már bizonyított egészértékű esetre.

A 2.-es pontot az olvasóra bízzuk. $\blacksquare$

videóban szereplő érvelés tehát lényegében a legutolsó közvetkezmény 2. pontját aknázza ki, meg azt az esetlegességet, hogy a teljes szöget megadó fokszám $9$ többszöröse; azaz a dolog matematikai vonatkozása eddig pusztán aritmetikai. Felhasználta továbbá azt a geometriai tényt, hogy egy sokszög belső szögeinek összege (csúcsok száma - 2)/2-ször teljes szög, amiből kifolyólag a következmény 2. pontja elsüthető a sokszög-szögösszegre is.

csabahenk/debunking9.md