Daniel Beltran Argueta - boletin 1 termodinamica.tex

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\title{Boletin 1 - Termodinámica}
\author{Daniel Beltran Argueta}
\date{18 de diciembre de 2023}

\begin{document}
\maketitle

\section*{Problema 1}
Calcula la derivada de la función  $f(x) = x^2 \cdot exp(-2x) + ln(2x + 1)$

\subsubsection*{Solución}


Usando la regla del producto y la regla de la logaritmo naturall:

$\dfrac{d}{dx}[x^{2}\cdot exp(-2x)] =\dfrac{d}{dx}[u(x)\cdot v(x)]$

$=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)$

$=2x\cdot exp(-2x)+x^{2}\cdot(-2)\cdot exp(-2x)$

$=2x^{2}\cdot exp(-2x)-2x\cdot exp(-2x)$

$=-2x^{2}\cdot exp(-2x)+\dfrac{1}{2x+1}$


La derivada de la función $f(x) = x^2 \cdot exp(-2x) + ln(2x + 1)$ es:

$\boxed{-2x^{2}\cdot exp(-2x)+\dfrac{1}{2x+1}}$


\section*{Problema 2}
Calcular la diferencial de la función de dos variables  $f(x, y) = x^2 y + exp(-x) \cdot y^2$

\subsubsection*{Solución}
Calculamos la derivada parcial de $f$ con respecto a $x$, consideramos $y$ como una constante y derivamos con respecto a $x$:


$\frac{df}{dx} = 2xy + exp(-x) \cdot 2y$

Repetimos lo mismo con la variable $y$:

$\frac{df}{dy}= x^2 + 2x \cdot exp(-x) \cdot y$


Formamos el vector de las derivadas para encontrar la diferencial de $f$:

$\boxed{df = (2xy + exp(-x) \cdot 2y, x^2 + 2x \cdot exp(-x) \cdot y)}$


\section*{Problema 3}
Calcula el trabajo realizado en un sistema químico durante una expansión isóbara a una atmósfera de presión si el gas ocupa inicialmente el volumen 22.4 L y duplica su volumen.

\subsubsection*{Solución}

Trabajo realizado por un gas durante una expansión isóbara:

$W = P \cdot \Delta V$

Al calcular el cambio de volumen de el gas, como el volumen final del gas es el doble del volumen inicial, el cambio de volumen es el siguiente:

$\Delta V = V_f - V_i = 2 \cdot V_i - V_i = V_i$

Calculando el trabajo realizado:

$W = P \cdot \Delta V = P \cdot V_i$

Ya que la presión del gas es $1 atm$, conociendo $P$ y $\Delta V$ podemos calcular el trabajo realizado final:

$W = P \cdot V_i = 1 atm \cdot 22.4 L = \boxed{22.4 L \cdot atm}$



\section*{Problema 4}
Calcula el aumento de temperatura de 1 L de agua si su calor específico es constante y de 1 cal/g °C y se realiza un trabajo adiabático de 5 J

\subsubsection*{Solución}


La energía interna de un sistema cerrado se conserva

$\Delta U = Q + W$

Ya que el trabajo realizado es adiabático, $Q = 0$

$\Delta U = 0 + W$

$\Delta U = W$

Calculando el cambio dela energía interna:

$\Delta U = m \cdot c \cdot \Delta T$

\newpage

Calculando la masa del agua, usando la fórmula: $m = V \cdot \rho$:


$\rho = 1 g/cm3 = 1000 kg/m3$


El volumen del agua es 1 L, por lo que la masa es:

$m = V \cdot \rho = 1 L \cdot 1000 kg/m3 = 1000 g$


Conociendo la masa del agua, el calor específico del agua y el trabajo realizado, podemos calcular el cambio de temperatura:

$\Delta T = \Delta U / m \cdot c$

$\Delta T = 5 J / 1000 g \cdot 1 cal/g \hspace*{0.2cm} C^{\circ}$

$\boxed{\Delta T = 5 \cdot 10^-4 \hspace*{0.2cm} C^{\circ}}$


\section*{Problema 5}
Calcular el trabajo realizado por la expansión de dos moles de un gas ideal en una expansión isoterma (T = 42 °C) en la que la presión se reduce a la mitad

\subsubsection*{Solución}

Definimos el trabajo realizado por una expansión istoerma:

$W = nRT ln(V_f / V_i)$

\begin{small}
    Donde

    $\cdot$ $W$ es el trabajo realizado por el gas (J)

    $\cdot$ $n$ es el número de moles del gas (mol)

    $\cdot$ $R$ es la constante universal de los gases ideales (8,314 J/mol·K)

    $\cdot$ $T$ es la temperatura del gas (K)

    $\cdot$ $V_f$ es el volumen final del gas (L)

    $\cdot$ $V_i$ es el volumen inicial del gas (L)
\end{small}

Al calcular el volumen final del gas, como la presión se reduce a la mitad, la relación entre el volumen final e inicial es la siguiente:

$V_f / V_i = 2$

$V_f = 2 V_i$

Calculamos el trabajo realizado, ya que sabemos el volumen final del gas ($2V_i$)

$W = nRT ln(V_f / V_i)$

$W = 2 \cdot nRT ln(2)$

$W = 2 \cdot nRT \cdot ln(2) / ln(10)$

Ahora podemos calcular el trabajo final realizado, esto porque conocemos el número de moles del gas, la temperatura del gas y la constante universal de los gases ideales, así:

$W = 2 \cdot 2 \cdot 8,314 J/mol\cdot K \cdot 315 K \cdot ln(2) / ln(10)$

$\boxed{W = 29,2 J}$


\section*{Problema 6}
Si en un proceso termodinámico cíclico en la primera etapa se absorbe un calor equivalente a 4.56 cal y se realiza un trabajo sobre el sistema de 3 J, calcular el calor absorbido en la segunda etapa si el sistema realiza sobre los alrededores un trabajo de 2.1 J

\subsubsection*{Solución}

Aplicamos la primera ley de la termodinámica

$\Delta U = Q + W$

Calculamos el cambio de energía interna en la primera etapa, en esta el calor absorbido por el sistema es de 4.56 cal. Convirtiendo esto a Julios:

$4.56 cal \cdot 4.184 J/cal = 19.13 J$

El trabajo realizado sobre el sistema es de 3 J así que el cambio de energía interna en la primera etapa es:

$\Delta U_1 = Q_1 + W_1$

$\Delta U_1 = 19.13 J + 3 J$

$\Delta U_1 = 22.13 J$

Ahora calculamos el cambio de energía interna en la segunda etapa.

Como sabemos que el cambio de energía interna en un proceso cíclico es cero, el cambio de energía interna en la segunda etapa es el opuesto al cambio de energía interna en la primera etapa, en la segunda etapa, el cambio de energía interna es de -22.13 J.

Como sabemos que el trabajo realizado por el sistema es de 2.1 J, ya podemos saber cuál es el calor absorbido por el sistema en la segunda etapa:

$Q_2 = \Delta U_2 + W_2$

$Q_2 = -22.13 J + 2.1 J$

$\boxed{Q_2 = -20 J}$


\section*{Problema 7}
Calcular la variación de energía interna en un proceso isostérico en el que se absorben 45.4 cal.

\subsubsection*{Solución}

Aplicamos la primera ley de la termodinámica:

$\Delta U = Q + W$

Como el proceso es isostérico, el trabajo realizado por el sistema es nulo, por lo tanto:

$\Delta U = Q$

$\Delta U = 45.4 cal$

Convertimos cal a J

$\Delta U = 45.4 cal \cdot 4.184 J/cal$

$\Delta U = 193.336 J$

Por lo tanto, la variación de energía interna es de $\boxed{193.336 J}$


\section*{Problema 8}
En un proceso isotermo a 25 °C un gas ideal, que ocupa inicialmente un volumen de 24 L, aumenta su presión de 1 atm a 3.5 atm. Calcular el volumen final que ocupará el gas

\subsubsection*{Solución}

PRimero definimos la ecuación de estado de un gas ideal

$PV = nRT$

Podemos notar que cuando ocurre este proceso, al ser isotérmico, la temperatura del gas se mantiene, así que podemos simplificar:

$PV = constante$

Ahora, podemos expresar el volumen en función de la presión:

$V = constante / P$


Podemos calcular el volumen final:


$V_f = V_i \cdot (1 / P_f)$

$V_f = 24 L \cdot (1 / 3.5 atm)$

$\boxed{V_f = 6.85 L}$


\section*{Problema 9}
En una transformación isobárica la temperatura de un gas asciende de 25 °C a 100 °C. Calcular el volumen final del gas si inicialmente su volumen era 4 L

\subsubsection*{Solución}

Comenzando, sabemos que en un proceso isobárico la presión es constante.

Debemos convertir de °C a °K:

25 °C = 298.15 K


Ahora podemos aplicar la ecuación de estado de los gases ideales

$PV = nRT$

Como la presión permanece constante, podemos afirmar:

$V \propto T$

Calculamos el volumen final:


$V_f = V_i \cdot \frac{T_f}{T_i}$

$V_f = 4 L \cdot \frac{373.15 K}{298.15 K}$

$\boxed{V_f = 5.18 L}$

\section*{Problema 10}
Calcular el volumen que ocupa un mol de un gas ideal a la presión atmosférica y a la temperatura ambiente de 25 °C

\subsubsection*{Solución}

La presión atmosférica es aproximadamente 1 atm.

Convertimos °C a °K:

25 °C = 298.15 K

Ahora sí podemos aplicar la ecuación de los gases ideales

$PV = nRT$

$PV = (1 mol) \cdot R \cdot T$

$V = (R \cdot T) / P$ (esta será la fórmula que usaremos)

Ya podemos calcular el volumen final:

$V = (0.08206 L\cdot atm \cdot mol - 1\cdot K -1 \cdot 298.15 K) / 1 atm$

$\boxed{V = 22.41 L}$


\section*{Problema 11}
Calcular la variación de energía interna un gas ideal que se expande isotérmicamente a 20 °C, de un volumen inicial de 2 a 3.5 L. Calcular el calor absorbido (en calorías) sabiendo que la presión inicial es de 1 atm

\subsubsection*{Solución}

Como es un proceso isotérmico sabemos que la temperatura es constante

Primero convertimos los °C a °K:

20 °C = 293.15 K

Y usaremos la ecuación de estado de los gases ideales:

$PV = nRT$

El trabajo realizado por un gas ideal en una expansión isotérmica lo podemos encontrar de la siguiente forma:

$W = P \Delta V$

Aplicamos la fórmula:

$W = 1 atm \cdot (3.5 L - 2 L)$

$W = 3.5 atm L$

Ahora calculamos el calor absorbido por el gas:

$Q = \Delta U + W$

$Q = 0 + 3.5 atm L$

$\boxed{Q = 3.5 atm L}$

\newpage

\section*{Problema 12}
Comparar la presión de un mol de nitrógeno molecular que ocupa un volumen de 2 L utilizando la ecuación de estado de Van der Waals y la ecuación de estado del gas ideal a la temperatura ambiente de 25 °C. Calcular también la temperatura de Boyle. Datos: a = 1.39 atm(L/mol)2, b = 0.0392 L/mol

\subsubsection*{Solución}

Primero debemos conocer la ecuación de estado de Van der Waals:

$(P + an^2/V^2) \cdot V - an = nRT$

\begin{small}

    Donde

    $\cdot$ $P$ es la presión del gas (atm)

    $\cdot$ $V$ es el volumen del gas (L)

    $\cdot$ $n$ es el número de moles del gas (mol)

    $\cdot$ $R$ es la constante universal de los gases ideales $(0.08206 L \cdot atm \cdot mol-1 \cdot K-1)$

    $\cdot$ $T$ es la temperatura del gas (K)

    $\cdot$ $a$ es una constante que representa las fuerzas de atracción entre las moléculas del gas

    $\cdot$ $b$ es una constante que representa el volumen ocupado por las moléculas del gas

\end{small}

También debemos conocer la ecuación de estado de los gases ideales:


$PV = nRT$


Debemos convertir °C a °K:

25 °C = 298.15 K

Calculamos la presión del gas ideal y podemos usar la siguiente fórmula:


$P = nRT/V$

$P = 1 mol \cdot 0.08206 \frac{\text{L} \cdot \text{atm}}{\text{mol} \cdot \text{K}} \cdot 298.15 K / 2 L$

$P = 3.49 atm$


Ahora calculamos la presión del gas según la ecuación de estado de Van der Waals:

$P = (nRT - an^2/V^2) / (V - nb)$

$P = (1 mol \cdot 0.08206 \frac{\text{L} \cdot \text{atm}}{\text{mol} \cdot \text{K}} \cdot 298.15 K - 1.39 \text{atm}(L/mol)^2 \cdot 1 mol^2 / (2 L)^2) / (2 L - 0.0392 L/mol)$

$\boxed{P = 3.24 atm}$

Calculamos la temperatura de Boyle:

$T_B = a/(2bR)$


$T_B = 1.39 \text{atm}(L/mol)^2 / (2 \cdot 0.0392 L/mol \cdot 0.08206 \frac{\text{L} \cdot \text{atm}}{\text{mol} \cdot \text{K}})$

$\boxed{T_B = 456 K}$


\end{document}