gistfile1.txt

докажите что в последовательности [2/sqrt(2)], [2^2/sqrt(2)], ... [2^n/sqrt(2)] .... , где [] - операция взятия целой части бесконечно много нечетных чисел 
---------------------------------------------------
Для определёности, две последовательности (вторая - целые части первой):
An = (2^n)/sqrt(2)
Bn = [An] = [ (2^n)/sqrt(2) ]

Метод решения: посмотрел на картинке, что происходит с числами последовательности An "по модулю 2" в промежутке [0..2), там сразу видно: если число нечётное, то каждый раз удваивается расстояние от правой границы отрезка [0..2)
---------------------------------------------------
Формальные логические шаги:
Если четных Bn - конечное число, то бесконечно много нечетных Bn. 

Пусть n такое, что Bn - нечётное.
Если Bn нечётное - то An = 2*k - x, где x от 0 до 1 (0 < x < 1). Поскольку при делении на sqrt(2) всегда будет дробное число (иначе бы sqrt(2) было рациональным), то неравенство строгое, x строго больше 0. Вместо sqrt(2) можно было бы использовать и 3, тогда An тоже были бы всегда дробными (степени двойки на 3 не делятся).
Пусть i - наименьшее целое число, что x при умножении на 2^i больше 1 (такое есть, так как x > 0, см. предыдущий пункт). 
Путь y = x*2^i, y будет от 1 до 2. ( 1 < y ).
Пусть K = k*2^i
Тогда A(n+i) = 2^i * (An) = 2*(k*2^i) - (x*2^i)  = 2*K - y
Поскольку y от 1 до 2, то у числа A(n+i) = (2*K - y) будет четная целая часть, т.ч. B(n+i) будет четным.

Итак, если нечетных Bn бесконечно много - то тогда бесконечно много и четных B(n+i).