一様連続.tex

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\setlength{\textwidth}{12cm}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem{theo}{定理}[section]
\newtheorem{defi}{定義}[section]
\newtheorem{lemm}{補題}[section]
\newtheorem{prop}{命題}[section]
\renewcommand{\proofname}{証明}


\begin{document}

\begin{framed}
$I = (0, 1)$とし写像$f: I \to \mathbb{R}$を
\[
f(x) = 1/x \ \ (x \in I)
\]
で定める。このとき$f$は$I$上で一様連続でない。
\end{framed}
\begin{proof}
$0 < \delta < 1$を任意にとる。$x = \delta$, $y = \delta / 2$とおく。このとき
\[
|x - y| = \delta / 2 < \delta,
\]
\[
\left|\frac{1}{x} - \frac{1}{y}\right| = \frac{1}{\delta} > 1
\]
である。よって
\[
\forall \delta > 0, \exists x, y \in I, |x-y| < \delta \land |f(x) - f(y)| > 1
\]
が示された。したがって$f$は$I$上で一様連続でない。
\end{proof}

\end{document}