#physics

exercise.tex

\parindent=0pt
L'esercizio parla di due sezioni di $50L$ ciascuna separate tra loro
da una parete isolante. Nel seguito servir\`a conoscere il numero di moli
di gas contenute nelle differenti sezioni: le condizioni iniziali pari
ad $1$atm a $0$C fanno si che ci sia una mole ogni $22.4$ litri; da
ci\`o \`e facile calcolare il numero di moli come
$$
n = {50\hbox{L}\over22.4\hbox{L/mol}}=2.23\hbox{mol}
$$
siccome la parete non \`e permeabile, il numero di moli per sezione rimane
costante.

A causa di questa parete la trasformazione nella parte destra \`e adiabatica,
quindi per essa vale la relazione

$$
pV^\gamma = K
$$
per il corso di tutta la trasformazione; $K$ \`e una costante e $\gamma = {5\over 3}$ per un gas ideale monoatomico.

Possiamo calcolare il valore di $K$ dalle condizioni iniziali

$$
\eqalign{
K &= 1.0 \hbox{atm}\cdot\left(50 \hbox{L}\right)^{5\over 3}\cr
  &= 101.3\cdot10^3 {\hbox{N}\over\hbox{m}^2}\cdot\left(50\cdot10^{-3}\hbox{m}^3\right)^{5\over3}\cr
  &= 687.42 \hbox{Nm}^3
}
$$

Da ci\'o si pu\`o a questo punto ricavare il volume finale della parte destra

$$
\eqalign{
V_D &= \root \gamma \of {K\over p} \cr
  &= 28.85L
}
$$

Dalla formula dei gas perfetti possiamo ricavare la temperatura finale
sempre della parte destra:
$$
\eqalign{
T_D &= {pV\over nR}\cr
  &= {2.5\hbox{atm}\cdot28.85\hbox{L}\over 2.23\hbox{mol}\cdot 8.3145\hbox{J/mol K}}\cr
  &= 393 \hbox{K}
}
$$

Per completare manca il lavoro fatto dalla parte sinistra per portare
la parte destra nello stato finale: sempre tenendo conto che la trasformazione
\`e adiabatica abbiamo che
$$
\eqalign{
W_D &= K{V_f^{1-\gamma} - V_i^{1-\gamma}\over1-\gamma} \cr
    &= 687.42\hbox{Nm}^3\cdot{\left(28.85\cdot 10^{-3}\hbox{m}^3\right)^{-{2\over3}}-\left(50\cdot10^{-3}\hbox{m}^3\right)^{-{2\over3}}\over-2/3}\cr
    &= -3.36\hbox{kJ}
}
$$
(il segno negativo dovrebbe indicare che lavoro \`e stato fatto {\bf sul sistema}).

Passiamo alla parte sinistra: il volume ``perso'' dalla parte destra
causa un incremento in quella sinistra che cos\`\i\ si trover\`a con
$$
V_S = 71.15\hbox{L}
$$
sempre grazie alla legge dei gas perfetti possiamo ricavare la temperatura
$$
\eqalign{
T_{S} &= {2.5 \hbox{atm}\cdot 71.15\hbox{L}\over 2.23\hbox{mol}\cdot 8.3145\hbox{J/mol K}}\cr
  &= 971,81\hbox{K}
}
$$
L'ultima cosa che rimane da calcolare \`e l'energia fornita dalla fonte di calore:
essa \`e responsabile sia del lavoro effettuato sulla parete di destra che del
cambiamento di energia del gas contenuto nella parte di sinistra:
$$
Q = U_{Sf} - U_{Si} + \|W_D\|
$$
Per calcolare l'energia interna usiamo la teoria cinetica dei gas per cui $U = {3\over 2}nRT$:
$$
\eqalign{
U_{Sf} &= {3\over2}\cdot 2.23\hbox{mol}\cdot 8.3145\hbox{J/mol K}\cdot 273.15\hbox{K} = 7596.85\hbox{J}\cr
U_{Si} &= {3\over2}\cdot 2.23\hbox{mol}\cdot 8.3145\hbox{J/mol K}\cdot 971.81\hbox{K} = 27027.98\hbox{J}\cr
}
$$
per cui
$$
Q = 27027.98\hbox{J} - 7596.85\hbox{J} + 3360\hbox{J} = 22791.13\hbox{J}
$$
\end