Ejemplo de modificación de un archivo de registros con campos separados por ";"

ModificarRegistro.cs

String path = @"C:\file.txt";
List<String> lines = new List<String>();

// Acá van las constantes para las posiciones de los campos
public const int NAME = 0;
public const int WORK = 1;
public const int ID   = 2;

if (File.Exists(path));
{
    // Acá se crea un reader para leer el archivo
    using (StreamReader reader = new StreamReader(path))
    {
        String line;

        // Se lee el archivo línea por línea
        while ((line = reader.ReadLine()) != null)
        {
            if (line.Contains(";"))
            {
                // Se separa el registro en un arreglo
                String[] split = line.Split(';');

                // Se analiza lo que se quiere cambiar 
                if (split[NAME].Contains("danny"))
                {
                    // Se hace el cambio
                    split[NAME] = "papi";
                    line = String.Join(";", split);
                }
            }

            // Se van guardando las líneas incluyendo las modificadas
            lines.Add(line);
        }
    }

    // Y acá se crea el writer para escribir todas las líneas de nuevo pero modificadas
    using (StreamWriter writer = new StreamWriter(path, false))
    {
        foreach (String line in lines)
            writer.WriteLine(line);
    }
}

GreivinLopez: Este es el método completo que cree, recibe varios por párametro algunos valores y esos son los que uso para modificar el archivo, pero me da un error al ejecutar.

public void ModificarRegistros (string Nombre, string cargo ,string Direccion, string email,
string Organizacion,string Skype, string telefono)
{
List lines = new List();
string path = @"C:\archivo_proyecto.txt";
const int _Nombre = 0;
const int _Organizacion= 1;
const int _Cargo = 4;
const int _email = 5;
const int _skype = 2;
const int _telefono = 6;
const int _direccion = 3;

        if (File.Exists(path))
        {
            //FileStream FS = new FileStream(@"C:\\archivo_proyecto.txt", FileMode.OpenOrCreate, FileAccess.Read);

            using (StreamReader reader = new StreamReader(path)) 
            {
                string LineasLeer;

                while ((LineasLeer = reader.ReadLine()) != null)
                {

                    if (LineasLeer.Contains(";"))
                    {

                        string[] separar = LineasLeer.Split(';');

                        if (separar[_Nombre].Contains(Nombre))
                        {
                            separar[_Nombre] = Nombre;
                            separar[_Organizacion] = Organizacion;
                            separar[_direccion] = Direccion;
                            separar[_Cargo] = cargo;
                            separar[_email] = email;
                            separar[_skype] = Skype;
                            separar[_telefono] = telefono;


                        }

                    }
                    lines.Add(LineasLeer);

                }


            }
            using (StreamWriter escribir = new StreamWriter(path, false))
            {

                foreach (string line in lines)

                    escribir.WriteLine(line);


                escribir.Close();
            }
        } // fin IF (File.Exists(path))




    } // Fin método ModificarRegistro

Ok hay varias cosas que cambiar en tu codigo:

1. Ponele el .Close al primer using "LineasLeer.Close"
2. Los nombres de las constantes deberían ser todo mayúscula y sin el "_" adelante> _Nombre -> NOMBRE. Incluso yo lo cambiaría a POSICION_NOMBRE para hacerlo más legible y explícito.
3. Los nombres de los parámetros deberían estar en minuscula: Nombre -> nombre
4. Un buen código no debería tener nombres en español (solo inglés). Si igual lo vas a poner en español todos los identificadores deben ir en español o sea cambia "lines" por "lineas". Y "LineasLeer" podria llamarse "lineaActual".
5. Tu problema puede estar fuera de ese método, en el resto del código si se abre el mismo archivo y no se cierra correctamente o incluso si hay procesos corriendo anteriormente que no liberaron el archivo de forma correcta (incluso una corrida anterior del mismo programa)