WolframAlpha für Mathe 2

file.tex

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\title{\textbf{WolframAlpha für Mathe 2}}
\author{\textsc{Henry Haustein}}
\date{}

\begin{document}
	\maketitle
	Die Webseite WolframAlpha (\url{https://www.wolframalpha.com/}) ist eine Art Suchmaschine, die (u.a. mathematische) Probleme lösen kann. Für mathematische Probleme ist sie mit einem Computer-Algebra-System (CAS) zu vergleichen, insbesondere kann man so Ergebnisse berechnen, die aufgrund ihrer Komplexität oder Allgemeinheit (Variablen, etc.) nicht per Hand oder mittels Taschenrechner zu lösen sind. WolframAlpha ist in der Lage die englische Sprache zu interpretieren, aber diese Interpretation ist manchmal weit von dem entfernt, was man eigentlich wollte. Es gibt deswegen einen Befehlssatz, der immer richtig interpretiert wird.
	
	WolframAlpha bietet auch eine Step-by-Step-Lösung der Probleme an, doch für diese muss man bezahlen.
	
	Man muss bei den meisten Dingen nicht immer nur Zahlen eingeben, sondern kann auch Variablen eingeben. Die Ergebnisse werden automatisch in Abhängigkeit der Variablen zurückgegeben.
	
	\section*{Komplexe Zahlen}
	Die Eingabe einer komplexen Zahl egal welcher Form liefert Informationen und eine Grafik zu dieser Zahl, sodass man entspannt umrechnen kann.
	
	\textbf{Beispiele:}
	\begin{itemize}
		\item Eingabe von \texttt{5*e\^\ (i*pi/2)} liefert gleich die algebraische Form $5i$ und noch die Polarkoordinaten $r=5$ und $\theta=90^\circ$.
		\item Die Eingabe von \texttt{3i+5} liefert die Polarkoordinaten $r=5.83095$ und $\theta=30.9638^\circ$. Klickt man auf \textit{Exact Form}, so ändern sich die Ergbnisse zu
		\begin{align}
			r&=\sqrt{34} \notag \\
			\theta &= \frac{180}{\pi}\cdot\tan^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)^\circ \notag
		\end{align}
		Der Term $\frac{180}{\pi}$ ist dabei die Umrechnung von Radiant zu Grad.
	\end{itemize}

	Natürlich kann WolframAlpha auch mit komplexen Zahlen rechnen, \texttt{+}, \texttt{-}, \texttt{*} und \texttt{/} funktionieren ganz normal.
	
	\section*{Folgen}
	Der Grenzwert einer Folge lässt sich so bestimmen: \texttt{lim n to infinity -1/(2*n)}. Das liefert den Grenzwert 0.
	
	\section*{Reihen}
	Schreibt man \texttt{sum} vor die Bildungsvorschift der Reihenglieder, so untersucht WolframAlpha das Konvergenzverhalten der Reihe und findet den Grenzwert, sofern dieser bekannt ist\footnote{Es gibt Reihen, von denen man weiß, dass sie konvergieren, aber man weiß nicht zu welchem Grenzwert.}.
	
	\textbf{Beispiele:}
	\begin{itemize}
		\item Die Eingabe von \texttt{sum (k+1)/(2\^\ k)} liefert Informationen zur Reihe $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{k+1}{2^k}$. Diese hat den Grenzwert 3 und konvergiert. Nach einem Klick auf \textit{Show Tests} zeigt WolframAlpha an, welcher Konvergenztest die Konvergenz der Reihe gezeigt hat. Leider kann man die Zwischenschritte des Tests nicht erfahren.
		\item Die Eingabe von \texttt{sum 1/(2k+k*sin(k))} zeigt, dass diese Reihe mittels Vergleichstest divergiert.
	\end{itemize}

	\section*{Kurvendiskussion}
	Die einfache Eingabe einer Funktion liefert viele Informationen die Funktion.
	
	\textbf{Beispiel:} Die Eingabe von \texttt{3*sin(x+1)-2} liefert unter anderem
	\begin{itemize}
		\item Nullstellen: $x_{01}=2\pi n+\pi-1-\sin^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)$ und $x_{02}=2\pi n-1-\sin^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)$ für $n\in\mathbb{Z}$
		\item Definitionsbereich: $\mathbb{R}$
		\item Wertebereich: $\{y\in\mathbb{R}\mid -5\le y\le 1\}$
		\item globales Maximum: $x_{max}=2\pi n + \frac{\pi}{2}-1$ ($n\in\mathbb{Z}$). Die Funktion nimmt dort den Wert 1 an.
		\item globale Minima: $x_{min1}=2\pi n - \frac{\pi}{2}-1$ und $x_{min2}=2\pi n + \frac{3\pi}{2}-1$ ($n\in\mathbb{Z}$). Die Funktion nimmt dort den Wert -5 an.
	\end{itemize}

	\section*{Differentiation und Integration}
	Der Befehl heißt hier \texttt{d/dx} für die erste Ableitung nach $x$, bzw. \texttt{d\^\ 2/dxdy} für die Ableitung zuerst nach $x$ und dann nach $y$.
	
	\textbf{Beispiele:}
	\begin{itemize}
		\item \texttt{d/dx 3*sin(x+1)-2} liefert $3\cos(x+1)$.
		\item \texttt{d/dy 3*sin(x+1)-2} liefert 0.
		\item \texttt{d\^\ 2/dxdy exp(x+y)*2x+3y} liefert $2(x+1)e^{x+y}$.
	\end{itemize}

	Integration funktioniert ähnlich, hier schreibt man einfach \texttt{integral} vor die Funktion. Das bestimmte Integral kann man \texttt{integral from 0 to 3 of} Funktion berechnen.
	
	\textbf{Beispiele:}
	\begin{itemize}
		\item \texttt{integral sin(x) dx} liefert $-\cos(x) + constant$
		\item \texttt{integral from 0 to 3 of sin(x) dx} liefert $1-\cos(3)\approx 1.9900$
	\end{itemize}
	
	\section*{(Differential)gleichungen lösen}
	Man kann mit WolframAlpha sowohl normale Gleichungen als auch Differentialgleichungen lösen lassen. Das geht mit dem Befehl \texttt{solve}.
	
	\textbf{Beispiele:}
	\begin{itemize}
		\item \texttt{solve x\^\ 2 + 4x + 6 = 0} löst die Gleichung $x^2+4x+6=0$. Ergebnis ist $x=-2\pm i\sqrt{2}$.
		\item \texttt{solve (x+1) y'(x) + y(x) = x}\footnote{Diese Differentialgleichung ist eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung und wurde nach dem französischen Mathematiker \textsc{Jean le Rond d'Alembert} benannt.} löst die Differentialgleichung und findet $y(x) = \frac{c_1}{x+1} + \frac{x^2}{2x+2}$.
	\end{itemize}

\end{document}