brun1.lenguaje.print.tex

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brun1.lenguaje.tex

%
%  brun1.lenguaje.tex
%  Presentación de la clase Matemáticas para UAC, San Felipe 2010
%  Created by Hans Sigrist on 2010-01-25.
%  Copyright (c) 2010 . All rights reserved.
%


\documentclass[usepdftitle=false,mathserif,9pt,spanish,xcolor=x11names]{beamer}


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\def\rp{\right)}
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    \small{\tableofcontents[currentsection,currentsubsection]}
  \end{frame}
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\hypersetup{pdfpagemode={FullScreen},pdftitle={Unidad 1: Lenguaje Matemático},pdfauthor={Sigrist, Hans},pdfsubject={Matemática},pdfkeywords={conjuntos,relaciones,funciones}}



\begin{document}
	
	\title{CÁLCULO 1}
	\subtitle{Unidad 1: Lenguaje Matemático}
	\author{\href{http://hsigrist.wordpress.com}{Hans Sigrist}}
	\institute[ad infinitus]{Universidad de Aconcagua\\San Felipe}
		\vspace{6cm}
		\date[m1un1.\infi]{$\infty$\tiny{ \\
					\infi \\
		\cc\ccby\ccsa\@ 2010\\
		Esta obra está publicada bajo una Atribución 2.0 Chile de Creative Commons. Para ver una copia de esta licencia, visite \href{http://creativecommons.org/licenses/by/2.0/cl/}{http://creativecommons.org/licenses/by/2.0/cl/}. Este documento se distribuye con la esperanza de que sea útil, pero SIN NINGUNA GARANTÍA; incluso sin la garantía implícita de COMERCIABILIDAD o APTITUD PARA UN PROPÓSITO PARTICULAR.\\\vspace{1.75cm}
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\begin{frame}
\titlepage 
\end{frame}


\begin{frame}{}
	\begin{figure}[H]
		\centering
			\includegraphics[scale=.35]{q.pdf}
	\end{figure}
\end{frame}


\part{Álgebra de Conjuntos} % (fold)
\label{prt:Álgebra_de_conjuntos}

% part Álgebra_de_conjuntos (end)

\frame{\partpage} 


\section{Conjuntos} % (fold)
\label{sec:conjuntos}

% section conjuntos (end)

\subsection{Álgebra de Conjuntos} % (fold)
\label{sub:Álgebra_de_conjuntos}

% subsection Álgebra_de_conjuntos (end)

\begin{frame}{Álgebra de conjuntos}
\begin{block}{Definición}
		\textbf{Conjunto} es un concepto primitivo, no se define, sin embargo admitiremos \textbf{colección} como sinónimo de conjunto.
\end{block}
\begin{minipage}[t]{5cm}
\begin{exampleblock}{Ejemplos}
	\begin{itemize}
		\item las vocales
		\item los números reales positivos
		\item los chilenos menores de $18$ años 
	\end{itemize}
\end{exampleblock}
\end{minipage}
\hspace{0.5cm}
\begin{minipage}[t]{5cm}
	\begin{block}{}
		Los componentes individuales de un conjunto constituyen los \textbf{elementos del conjunto}.
	\end{block}
\end{minipage}	
\end{frame}


\begin{frame}{Definiciones}
	Sea $\UU$ un conjunto (\emph{conjunto universo}) y sean $A$ y $B$ dos subconjuntos de $\UU$.
	\pause
	\begin{block}{}
		\begin{description}
			\item<+->[Complemento] $A^{c}=\{x\in\UU:x\notin A\}$.
			\item<+->[Intersección] $A\cap B=\{x\in\UU:x\in A\wedge x\in B\}$.
			\item<+->[Unión] $A\cup B=\{x\in\UU:x\in A\vee x\in B\}$.
			\item<+->[Diferencia] $A\bk B=\{x\in\UU:x\in A \wedge x\notin B\}$.
			\item<+->[Diferencia Simétrica] $A\Delta B=\{x\in\UU:\{x\in A\wedge x\notin B\}\vee\{x\in B\wedge x\notin A\}\}$.
		\end{description}
	\end{block}
\end{frame}


\begin{frame}{Diagramas de Venn}
	\begin{multicols}{2}
		\def\firstcircle{(0,0) circle (1cm)}
		\def\secondcircle{(0:1.3cm) circle (1cm)}

		\colorlet{circle edge}{Azure4}
		\colorlet{circle area}{Azure3}


		\setlength{\parskip}{5mm}
		% Set A and B
			\tikzset{filled/.style={fill=circle area, draw=circle edge, thick},
			    outline/.style={draw=circle edge, thick}}
			
			\begin{tikzpicture}
			    \begin{scope}
			        \clip \firstcircle;
			        \fill[filled] \secondcircle;
			    \end{scope}
			    \draw[outline] \firstcircle node {$A$};
			    \draw[outline] \secondcircle node {$B$};
			    \node[anchor=south] at (current bounding box.north) {$A \cap B$};
			\end{tikzpicture}
			
			%Set A or B but not (A and B) also known a A xor B
			\begin{tikzpicture}
			    \draw[filled, even odd rule] \firstcircle node {$A$}
			                                 \secondcircle node{$B$};
			    \node[anchor=south] at (current bounding box.north) {$A \Delta B$};
			\end{tikzpicture}

				% Set A or B
				\begin{tikzpicture}
				    \draw[filled] \firstcircle node {$A$}
				                  \secondcircle node {$B$};
				    \node[anchor=south] at (current bounding box.north) {$A \cup B$};
				\end{tikzpicture}

				% Set A but not B
				\begin{tikzpicture}
				    \begin{scope}
				        \clip \firstcircle;
				        \draw[filled, even odd rule] \firstcircle node {$A$}
				                                     \secondcircle;
				    \end{scope}
				    \draw[outline] \firstcircle
				                   \secondcircle node {$B$};
				    \node[anchor=south] at (current bounding box.north) {$A - B$};
				\end{tikzpicture}
	\end{multicols}

\end{frame}

\begin{frame}{Propiedades}
Sea $\UU$ un conjunto y sean $A, B$ y $C$ subconjuntos de $\UU$.
\begin{block}{}
	\begin{description}
		\item<+->[Identidad]$A\cap\UU=A$,\quad $A\cup\emptyset=A$,\quad $A\cup\emptyset=A$,\quad $A\cup\UU=\UU$.
		\item<+->[Idempotencia] $A\cap A=A$,\quad $A\cup A=A$.
		\item<+->[Involución] $(A^{c})^{c}=A$
		\item<+->[Complemento] $\emptyset^{c}=\UU$,\quad $\UU^{c}=\emptyset$.
		\item<+->[Conmutatividad] $A\cup B=B\cup A$,\quad $A\cap B=B\cap A$,\quad $A\Delta B=B\Delta A$.
		\item<+->[Asociatividad] $A\cup(B\cup C)=(A\cup B)\cup C$,\quad $A\cap(B\cap C)=(A\cap B)\cap C$.
		\item<+->[Distributividad] $A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)$,\quad $A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)$.
		\item<+->[Leyes de De Morgan] $(A\cup B)^{c}=A^{c}\cap B^{c}$, \quad $(A\cap B)^{c}=A^{c}\cup B^{c}$.
		\item<+->[Absorción] $A\cap(A\cup B)=A$,\quad $A\cup(A\cap B)=A$.
		\item<+->[Otras] $A\subseteq B\Leftrightarrow A\cap B^{c}=\emptyset$,\quad $A\subseteq B\Leftrightarrow B^{c}\subseteq A^{c}$,\quad $A\cap B\subseteq A$,\quad $A\subseteq A\cup B$.
	\end{description}
\end{block}
\end{frame}


\subsection{Ejemplos} % (fold)
\label{sub:ejemplos}

% subsection ejemplos (end)

\begin{frame}{Ejemplos}
	\begin{exampleblock}{Ejemplo 1}
		Se sabe que en un grupo de $20$ personas, $10$ estudian música, $7$ estudian fotografía, $4$ estudian pintura, $4$ estudian música y fotografía, $3$ estudian música y pintura, $2$ estudian fotografía y pintura y $1$ estudia música, fotografía y pintura.
		\begin{itemize}
			\item ¿Cuántas personas estudian sólo fotografía?
			\item ¿Cuántas personas estudian sólo pintura? 
		\end{itemize}
	\end{exampleblock}
\end{frame}

\begin{frame}{Ejemplos}
	\begin{exampleblock}{Ejemplo 2}
		Simplifique al máximo
		\begin{itemize}
			\item $[A\cap(A^{c}\cup B)]\cup[B\cap(B\cup C)]\cup B$.
			\item $\{[(A\bk B)^{c}\cup B^{c}]\}\cap(A^{c}\cup B)$. 
		\end{itemize}
	\end{exampleblock}
\end{frame}

\part{Relaciones y Funciones} % (fold)
\label{prt:relaciones_y_funciones}

% part relaciones_y_funciones (end)


\frame{\partpage} 


\section{Relaciones} % (fold)
\label{sec:relaciones}

% section relaciones (end)

\subsection{Producto Cartesiano} % (fold)
\label{sub:producto_cartesiano}

% subsection producto_cartesiano (end)


\begin{frame}{Par Ordenado \& Producto Cartesiano}
	\begin{block}{}
		Sean $A$ y $B$ conjuntos. Dados $a\in A$ y $b\in B$, se define el \textbf{par ordenado} $(a,b)$ mediante
		\[
		(a,b)=\{\{a\},\{a,b\}\}
		\]
		De esta forma dos pares ordenados son iguales si
		\[
		(a,b)=(c,d)\Leftrightarrow (a=c\wedge b=d)
		\]
	\end{block}
	\begin{block}{}
		El \textbf{Producto Cartesiano} de $A$ con $B$ es el conjunto de $A\times B$ de todos los pares ordenados $(a,b)$ tales que $a\in A$ y $b\in B$. Es decir,
		\[
		A\times B=\{(a,b):a\in A\wedge b\in B\}.
		\]
	\end{block}
	\begin{exampleblock}{Ejemplo}
		Sean $A=\{1,2,3\}$ y $B=\{a,b\}$. Entonces
		\[
		A\times B=\{(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)\}
		\]
	\end{exampleblock}
\end{frame}

\begin{frame}{Relación}
	\begin{block}{Definición}
		Sean $A$ y $B$ conjuntos. Una \textbf{relación} de $A$ en $B$ es cualquier subconjunto de $A\times B$
	\end{block}
	\begin{exampleblock}{Ejemplo}
		Sean $A$ y $B$ como en el ejemplo anterior y sean
		\[
		R_{1}=A\times B,\qquad R_{2}=\emptyset,\qquad R_{3}=\{(1,a),(2,b),(3,b)\}
		\]
		Luego, $R_{1},R_{2}$ y $R_{3}$ son relaciones de $A\times B$. ¿Graficamos?
	\end{exampleblock}
\end{frame}

\subsection{Dominio y Recorrido} % (fold)
\label{sub:dominio_y_recorrido}

% subsection dominio_y_recorrido (end)


\begin{frame}{Dominio y Recorrido}
	\begin{block}{Definición}
		Sea $\rr$ una relación de $A$ en $B$. El \textbf{dominio} y el \textbf{recorrido} de $\rr$ se definen, respectivamente, como los dos conjuntos siguientes:
		\begin{eqnarray*}
		Dom(\rr)&=&\{a\in A:\exists b\in B, (a,b)\in\rr\} \\
		Rec(\rr)&=&\{b\in B:\exists a\in A, (a,b)\in\rr\}
	\end{eqnarray*}
	\end{block}
	\begin{block}{Definición}
		Sean $A$ y $B$ conjuntos y $\rr$ una relación de $A$ en $B$. La \textbf{relación inversa} de $\rr$ se define como el conjunto
		\[
		\rr^{-1}=\{(y,x)\in B\times A:(x,y)\in\rr\}
		\]
		Si $\rr$ es una relación de $A$ en $B$, entonces 
		\begin{itemize}
			\item $\rr^{-1}$ es una relación de $B$ en $A$.
			\item $Dom(\rr^{-1})=Rec(\rr)$\quad y \quad $Rec(\rr^{-1})=Dom(\rr)$. 
		\end{itemize}
	\end{block}
\end{frame}


\begin{frame}{Dominio}
	Es el conjunto de todos los valores posibles que puede tomar la variable independiente $y$ se denota $Dom(f)$.
	\vfill
	En adelante el $Dom(f)$, es el conjunto en donde dispondremos a ``los hijos'', recordar que en este conjunto van las variables independientes, también llamadas preimágenes.
	\pause
	\begin{exampleblock}{Ejemplo}
		Sea $f:\RR\rightarrow\RR$ una función definida por $f(x)=\frac{2}{x+2}$. En este caso hallar el dominio, es equivalente a hacerse la pregunta ``¿qué $x$ permiten utilizar sin problemas esta función'', o bien ``¿con cuáles $x$ la función se indefine'', de esta forma podemos ver que:
		\begin{eqnarray}
		\frac{2}{x+2}\in\RR &\Leftrightarrow& (x+2)\neq 0 \\
		                    &\Rightarrow &x\neq -2
		\end{eqnarray}
	\end{exampleblock}	
	\ovalbox{Por lo tanto, $Dom(f)=\RR\smallsetminus\{2\}$}
\end{frame}



\begin{frame}{Recorrido}
	Es el conjunto de todos los valores que toma la variable dependiente y se denota $Rec(f)$.
	\vfill
	En adelante el $Rec(f)$, es el \alert{conjunto} en donde dispondremos a ``las mamás'', recordar que en este conjunto van las variables dependiente, también llamadas imágenes.
	\pause
	\begin{exampleblock}{Ejemplo}
		Consideremos la misma función antes definida, en este caso hallar el recorrido, es equivalente a ``despejar $x$ en función de $y$'', así tenemos que:
		\begin{eqnarray}
			y=\frac{2}{x+2}&\Rightarrow& x=\frac{2-2y}{y} \\
			\frac{2-2y}{y}\in\RR&\Leftrightarrow& [(2-2y)\in\RR\wedge y\neq 0]
		\end{eqnarray}		
	\end{exampleblock}
	\ovalbox{Por lo tanto, $Rec(f)=\RR\smallsetminus\{0\}$.}
\end{frame}


\subsection{Funciones} % (fold)
\label{sub:funciones}

% subsection funciones (end)

\begin{frame}{Funciones}
	\begin{block}{Definición}
		Sea $f$ una relación de $A$ en $B$. Se dice que $f$ es una \textbf{función} de $A$ en $B$, si y sólo si, las dos condiciones siguientes se satisfacen
		\begin{itemize}
			\item $Dom(f)=A$.
			\item $(\forall a\in A,\forall b\in B,\forall c\in B)([(a,b)\in f\wedge (a,c)\in f]\Rightarrow b=c)$. 
		\end{itemize}
		Esta última condición establece que cada elemento de $A$ tiene asociado un elemento en $B$ y que además este elemento es único.
	\end{block}
	\begin{block}{}
		Si $f$ es una función de $A$ en $B$, se acostumbra a anotar $f:A\rightarrow B$ y si $(a,b)\in f$, entonces se anota $b=f(a)$.
		Además, si $f:A\rightarrow B$ es una función diremos que $f$ es \textbf{invertible}, si y sólo si, su relación inversa $f^{-1}$ es función de $B$ en $A$.
	\end{block}
\end{frame}

\begin{frame}{Noción de función mediante conjuntos}
	Sea $A=\{-1,0,1,2\}$ y $B=\{-4,-1,2,5,8\}$ dos conjuntos, en donde los elementos de $A$ están relacionados con los elementos de $B$, mediante la fórmula $y=3x-1$, con $x\in A$ e $y\in B$ 
	\pause
	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=stealth,x=0.5156250000000003cm,y=0.4066543438077638cm]
	\clip(-1.43,-0.69) rectangle (10.21,9.15);
	\draw [rotate around={90:(1.35,4.26)},line width=1.6pt,color=teal] (1.35,4.26) ellipse (1.06cm and 0.49cm);
	\draw [rotate around={90:(6.66,4.26)},line width=1.6pt,color=teal] (6.66,4.26) ellipse (1.06cm and 0.49cm);
	\draw [->] (1.7,5.44) -- (6.48,5.44);
	\draw [->] (1.7,4.77) -- (6.48,4.77);
	\draw [->] (1.7,4.06) -- (6.48,4.06);
	\draw [->] (1.7,3.37) -- (6.48,3.37);
	\draw (0.7,5.93) node[anchor=north west] {$-1$};
	\draw (1,5.21) node[anchor=north west] {$0$};
	\draw (1,4.48) node[anchor=north west] {$1$};
	\draw (1,3.79) node[anchor=north west] {$2$};
	\draw (6.3,6) node[anchor=north west] {$-4$};
	\draw (6.3,5.4) node[anchor=north west] {$-1$};
	\draw (6.5,4.5) node[anchor=north west] {$2$};
	\draw (6.5,3.77) node[anchor=north west] {$5$};
	\draw (6.5,3) node[anchor=north west] {$8$};
	\draw (1.1,8) node[anchor=north west] {$A$};
	\draw (6.55,8) node[anchor=north west] {$B$};
	\end{tikzpicture}
	\end{center}
	\pause
	En la figura, se observa que:
	\pause
	\begin{itemize}
		\item<+-> todos los elementos de $A$ están asociados a elementos de $B$
		\item<+-> cada elemento de $A$ está asociado a un único elemento de $B$
	\end{itemize}
	\pause
	De lo anterior, la relación expresada por $y=3x-1$, es una \textbf{función de $A$ en $B$}.
\end{frame}


\begin{frame}{}

	\begin{center}
		\definecolor{ccqqtt}{rgb}{0.8,0,0.2}
		\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=0.5156250000000003cm,y=0.4066543438077638cm]
		\clip(-1.43,1.5) rectangle (10.21,7.5);
		\draw [rotate around={90:(1.35,4.26)},line width=1.6pt,color=teal!40] (1.35,4.26) ellipse (1.06cm and 0.49cm);
		\draw [rotate around={90:(6.66,4.26)},line width=1.6pt,color=teal!40] (6.66,4.26) ellipse (1.06cm and 0.49cm);

		\draw [->,decorate,decoration={snake,amplitude=0.4mm,segment length=2mm,post length=1mm}] 
		(1.6,4.48) -- (6.24,4.48) 
		node [above,text centered,midway] 
		{ 
		$f$ 
		};
		\draw (1,7.7) node[anchor=north west] {$A$};
		\draw (6.3,7.7) node[anchor=north west] {$B$};
		\draw (1,5) node[anchor=north west] {$x$};
		\draw (6,5) node[anchor=north west] {$f(x)$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}

	\pause
\begin{exampleblock}{Observaciones}
	\begin{itemize}
		\item<+-> Para cada elemento $x\in A$ se usará la notación $f(x)$ (se lee: $f$ de $x$) para indicar al único elemento $y\in B$, que ha sido asignado a $x$.
		\item<+-> $y$ es la imagen de $x$ mediante $f$, lo cual se escribe $y=f(x)$, mientras que $x$ es la preimagen de $f(x)$.
		\item<+-> En la expresión $y=f(x)$, $x$ es la variable independiente e $y$ es la variable dependiente. 	  
	\end{itemize}
\end{exampleblock}
\end{frame}
\end{document}