- ze vzorce S = 1/2 av_a pro obsah trojúhelníku vyjádříme výšku v_a na stranu a. (neznámá je v_a)
S = 1/2 * a * »v«
S = 1/2 * a * v | *2 (stejné jako kdybychom dělili 1/2)
2 * S = 2 * 1/2 * a * v
2 * S = a * v | /a → podmínka a ≠ 0
2 * S / a = a / a * v
2 * S / a = v
- ke zvednutí tělesa o hmotnosti m do výšky h je nutno vykonat práci W = mgh. do jaké výšky těleso o hmotnosti m zvedneme, jestliže přitom vykonáme práci W? (neznámá je h)
W = m * g * »h«
W = m * g * h | /m → podmínka: m ≠ 0
W / m = m / m * g * h
W / m = g * h | /g
W / m / g = g / g * h
W / m / g = h
W / (m * g) = h
- Kinetická energie tělesa o hmotnosti m, které se pohybuje rychlostí v, je E_k = 1/2mv². vyjádřete z tohoto vzorce a) hmotnost m
E_k = 1/2 * »m« * v²
E_k = 1/2 * m * v² | *2 (stejné jako kdybychom dělili 1/2)
2 * E_k = 2 * 1/2 * m * v²
2 * E_k = m * v² | /v² → podmínka: v ≠ 0
2 * E_k / v² = m * v² / v²
2 * E_k / v² = m
b) rychlost v
E_k = 1/2 * m * »v«²
E_k = 1/2 * m * v² | *2 (stejné jako kdybychom dělili 1/2)
2 * E_k = 2 * 1/2 * m * v²
2 * E_k = m * v² | /m
2 * E_k / m = m / m * v²
2 * E_k / m = v² | √
√(2 * E_k / m) = √(v²)
√(2 * E_k / m) = v
- 1 kg cukrovinek A stojí 120kč, 1kg cukrovinek B je za 180kč. Kolik kg cukrovinek A a kolik kg cukrovinek B je nutno smíchat , má-li se vytvořit 20 kg směsi, jejíž 1 kg má stát 160 Kč ?
Je nutno si uvědomit, že ve výsledné směsi bude nějaká část cukrovinek A a nějaká část cukrovinek B. Pro jednoduchost nejprve spočítejme podíly v 1 kg směsi. Řekněme, že výsledná směs bude obsahovat x kg cukrovinek A, pak cukrovinek B musí být (1 − x) kg (x kg a (1 − x) kg dává dohromady 1 kg).
Víme kolik stojí kilogram cukrovinek A (120 Kč) a kolik jich ve výsledné směsi bude (x kg), výsledná směs tedy bude obsahovat cukrovinky A za (120 * x) kg. Obdobně spočítáme cenu cukrovinek B obsažených ve směsi – 180 * (1 − x) kg.
Jelikož se směs skládá pouze z cukrovinek A a B, můžeme její cenu stanovit jako součet cen jednotlivých cukrovinek ve správném poměru. Tyto ceny jsme určili výše. Celkovou cenu už známe, takže z ní můžeme určit konkrétní podíl, když ji dáme do rovnosti s odvozeným součtem.
x * 120 + (1 − x) * 180 = 160
| cukrovinky | cena / 1 kg |
|---|---|
| A | 120 Kč |
| B | 180 Kč |
| x * A + (1 − x) * B | 160 Kč |
Nyní spočítáme x (podíl cukrovinek A).
x * 120 + (1 − x) * 180 = 160
120x + 180 * 1 − 180x = 160
−60x + 180 = 160 | −180
−60x = −20 | /(−60)
x = 1/3
Zjistili jsme tedy, že 1 kg směsi bude obsahovat 1/3 kg cukrovinek A. Určení množství cukrovinek na 20 kg směsi je pak již snadné.
- jedním čerpadlem se nádrž naplní za 4h, druhým za 6h. za jak dlouho se naplní při současné činnosti obou čerpadel ?
| čerpadlo | doba napouštění | rychlost napouštění |
|---|---|---|
| č. 1 | 4 hod | 1/4 nádrže / hod |
| č. 2 | 6 hod | 1/6 nádrže / hod |
Za 1 hodinu napustí první čerpadlo 1 * 1/4 nádrží a druhé čerpadlo 1 * 1/6 nádrží. Za 2 hodiny napustí první čerpadlo 2 * 1/4 nádrží a druhé čerpadlo 2 * 1/6 nádrží. Za 17 hodin napustí první čerpadlo 17 * 1/4 nádrží a druhé čerpadlo 17 * 1/6 nádrží. Za x hodin napustí první čerpadlo x * 1/4 nádrží a druhé čerpadlo x * 1/6 nádrží. Dohromady za x hodin napustí x * 1/4 nádrží + x * 1/6 nádrží, pojmenujme tento počet nádrží N.
N = x * 1/4 + x * 1/6
Zajímá nás, za jak dlouho napustí jednu nádrž, dosadíme tedy za N = 1.
1 = x * 1/4 + x * 1/6
Nyní určíme x.
1 = x * 1/4 + x * 1/6 | vytkneme x
1 = x * (1/4 + 1/6)
1 = x * (6/24 + 4/24)
1 = x * (10/24)
1 = x * (5/12) | /(5/12)
1 / (5/12) = x * (5/12) / (5/12) | dělení zlomkem je jako násobení převráceným zlomkem
1 * (12/5) = x * (5/12) / (12/5)
12/5 = x
Doba napouštění jedné nádrže je tedy 12/5 hod.
- kolik kg bronzu A obsahujícího 14 % cínu a kolik kg bronzu B obsahujícího 5 % cínu je třeba smíchat, abychom získali 12 kg bronzu, který obsahuje 8 % cínu ?
| Bronz | obsah cínu |
|---|---|
| 1 * A + 0 * B | 14 % |
| 0 * A + 1 * B | 5 % |
| x * A + (1 − x) * B | 8 % |
Dosadíme do spodní rovnice:
x * 14 % + (1 − x) * 5 % = 8 % | roznásobíme závorku
x * 14 % + 5 % − x * 5 % = 8 %
x * 9 % + 5 % = 8 % | −5 %
x * 9 % = 3 % | /(9 %)
x = 3 % / (9 %)
x = 1/3
Slitina tedy bude obsahovat 1/3 bronzu s vyšším obsahem cínu. Přesnou hmotnost již lze spočítat snadno.