hm uebung 1 vom 23.04.12

hm_uebung_1.tex

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% http://www.maths.tcd.ie/~dwilkins/LaTeXPrimer/Theorems.html
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\begin{document}

\section*{Fourierreihen im Komplexen}
\begin{definition}
Seien $a,b∈ℝ,\ a<b$ und sei $g:[a,b]\to ℂ$ eine Funktion mit $u:=\Re(g),\ v:=\Im(g)$; also $g=u+iv$. Sind $u,v∈ℝ[a,b]$, so schreiben wir $g∈ℝ([a,b],ℂ)$ und definieren $\int\limits_a^b g(x)\mathrm{d}x:=\int\limits_a^b u(x)\mathrm{d}x+i\int\limits_a^b v(x)\mathrm{d}x$.
\end{definition}

\begin{remark}
Ist auch $k∈ℝ([a,b],ℂ)$ und $α,β∈ℂ$, so gilt:
\begin{enumerate}
  \item[(a)] $αg+βh∈ℝ([a,b],ℂ)$ und $\int\limits_a^b (αg+βh)\mathrm{d}x=α\int\limits_a^b g(x)\mathrm{d}x+β\int\limits_a^b h(x)\mathrm{d}x$
\end{enumerate}
\end{remark}

\begin{definition}
Sei $f∈ℝ([a,b],ℂ)$. Dann heißen $c_n:=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)e^{-inx}\mathrm{d}x\ (n∈ℤ)$ die komplexen Fourierkoeffizienten von $f$ auf $\sum\limits_{n=-\infty}^\infty c_ne^{inx}$ heißt die zu $f$ gehörende \emph{komplexe Fourrierreihe}.
\end{definition}
Sei $f∈ℝ[-\pi,\pi]$ und seinen $a_n,b_n$ die zugehörigen Fourierkoeffizienten (vgl. \S13). Dann gilt:
\[
\begin{split}
&c_n=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)(\cos(nx)-i\sin(nx))\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\left(a_n-i b_n\right)\quad(n∈ℕ)\\
&c_0=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)1\mathrm{d}x=\frac{1}{2}a_0\\
&c_{-n}=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)(\cos(nx)+i\sin(nx))\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\left(a_n+i b_n\right)\quad(n∈ℕ)
\end{split}
\]
Dann ergibt sich:
\[
\begin{split}
\sum\limits_{k=-n}^k c_ke^{ikx}=\frac{a_0}{2}+{}&\underbrace{\sum\limits_{k=1}^n\left(c_ke^{ikx}+c_{-k}e^{-ikx}\right)}_{
  \mathrlap{\begin{array}{@{}l}
    \hspace{-0.6ex}=\cos(kx)(c_n+c_{-n})+i\sin(kx)(c_k-c_{-k})\\
    \hspace{-0.6ex}=a_k\cos(kx)+b_k\sin(kx)
  \end{array}}
}\\
\end{split}
\]
Also:
\[
\sum\limits_{k=-n}^nc_ke^{ikx}=\frac{a_0}{2}=\sum\limits_{k=1}^n\left(a_k\cos(kx)+b_k\sin(kx)\right)
\]
\begin{definition}
Sei $(a_n)$ eine Folge in $ℂ$ und $x∈ℝ$. Dann:
\[
\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}c_ke^{inx}\ \text{konvergiert}:⇔\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=-n}^n c_ke^{ikx}\ \text{ex.}\quad(\text{in}\ ℂ)
\]
\end{definition}
\begin{remark}
Ist $f∈R[-\pi,\pi]\ \text{und}\ x∈ℝ$, so gilt: Die komplexe Fourierreihe konv. in $x∈[-\pi,\pi]$⇔ die reelle FR konv. in $x$.
\end{remark}

\section*{Aufgabe 1}
Untersuchen Sie, ob die foglenden GW ex. und geben Sie diese ggf. an:
\[
\begin{split}
i)& \lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\left(\frac{x^2}{|y|}\right)^y\\
ii)& \lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2+1}-1}\\
iii)& \lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy}{e^{x^2}-1}
\end{split}
\]

\begin{enumerate}
  \item[i)]
  $D=\{(x,y)∈ℝ^2:y\neq 0\}$. Sei $x_n^α:=e^{-αn},\ y_n^α:=\frac{1}{n}$.\\Dann ist $(x_n^α,\ y_n^α)$ Folge in $D$ mit GW $(0,0)$. Dann:
  \[
  \left(\frac{x_n^{α^2}}{|y_n^α|}\right)^{y_n^α}=\left(ne^{-2αn}\right)^\frac{1}{n}=n^{\frac{1}{n}}e^{-2α}\xrightarrow{n\to\infty}e^{-2α}
  \]
  Insbesondere unterscheiden sich die GWe zu $(x_n^α,\ y_n^α)$ und $(x_n^5,\ y_n^5)$ ⇒ lim ex. nicht.

  \item[ii)]
  $D=ℝ^2\backslash\{(0,0)\}$. Sei $(x_n,\ y_n)$ Folge in $D$ mit GW $(0,0)$.\\Dann: $x_n\to0,\ y_n\to0$, also auch $z_n:=x_n^2+y_n^2\to0\ (n\to\infty)$. Es folgt nach \emph{l'Hopital}:
  \[
  \lim\limits_{n\to\infty}\frac{x_n^2+y_n^2}{\sqrt{x_n^2+y_n^2+1}-1}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{z_n}{\sqrt{z_n+1}-1}=\lim\limits_{z\to0^+}\frac{z}{\sqrt{z+1}-1}=\lim\limits_{z\to0^+}\frac{1}{\frac{1}{z\sqrt{z+1}}}=2
  \]
  Damit:
  \[
  \lim\limits_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x_n^2+y_n^2}{\sqrt{x_n^2+y_n^2+1}-1}=2
  \]

  \item[iii)]
  Wegen \emph{l'Hopital} gilt:
  \[
  \lim\limits_{x\to0}\frac{x^2}{e^{x^2}-1}=\lim\limits_{x\to0}\frac{2x}{2xe^{x^2}}=1
  \]
  Darum gilt für jede Folge $(x_n,\ y_n)$ in $D=\{(x,y)∈ℝ^2:x\neq0\}$ mit GW $(0,0)$.
  \[
  \lim\limits_{n\to\infty}\frac{x_n^2y_n}{e^{x_n^2}-1}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{x_n^2}{e^{x_n^2}-1}\cdot\lim\limits_{n\to\infty}y_n=1\cdot0=0
  \]
\end{enumerate}

\section*{Aufgabe 2}
Überprüfen Sie, ob die folgenden Teilmengen des $ℝ^2$ bzw. $ℝ^3$ beschränkt, offen, abgeschlossen oder kompakt sind.
\begin{enumerate}
  \item[a)] $M_1=\{(x,y)∈ℝ^2: 0<y\leq1-x^2\}$\\
  $M_1$ ist weder offen noch abg., beschr.; also nicht kompakt.
  \begin{enumerate}
    \item[]\ul{Beschr\"anktheit}: Für $(x,y)∈M_1$ gilt:\\
    $0<y\leq1, x^2\leq1-y<1$. Daher: $||(x,y)||=\sqrt{x^2+y^2}\leq\sqrt{1^2+1}=\sqrt{2}$\ ⇒ $M_1$ ist beschr.
    \item[]\ul{Offenheit}: $(0,1)∈M_1$, aber: $(0,1+ε)\notin M_1 ∀ ε>0$. $||(0,1+ε)-(0,1)||=ε$
    \item[]\ul{Abgeschlossenheit}: Sei $(x_n,y_n):=(0,\frac{1}{n})∈M_1 \text{für} n∈ℕ$. Dann: $(x_n,y_n)\to(0,0)\text{und} (0,0)\notin M_1$. Also ist $M_1$ nicht abg. 
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}