Gli $X_n$ vengono costruiti esattamente come dici. Quello che non capisci è, come dici tu, "come ottenere ciò che loro affermano". Il modo è il seguente: le costanti vengono inserite tutte già in $X_1$. Infatti, dato un qualsiasi simbolo di costante $c$ nel linguaggio, è chiaramente vero che $\mathfrak B \vDash \exists x (x=c)$ (perché $\mathfrak B$ è un modello). Siccome la formula "$x=c$" è una formula senza parametri, è in particolare banalmente una formula a parametri in $X_0$, e quindi $X_1$ deve contenere anch'esso un testimone per quella formula, ovvero la costante cercata.
Per quanto riguarda la chiusura per funzioni, il discorso è simile. Prendiamo una funzione $n$-aria $f \in \mathcal L$. Siano $a_1,...,a_n \in \mathbf A$. Osserviamo che:
- Siccome $\mathfrak B$ è un modello, vale $\mathfrak B \vDash \exists y (f(a_1,...,a_n)=y)$. .
- "$f(a_1,...,a_n)=y$" è una formula a parametri in $\mathbf A$, ma ovviamente deve esistere un $X_k$ tale che $a_1,...,a_n \in X_k$. Quindi è una formula a parametri in $X_k$.
Mettendo insieme (1) e (2) otteniamo che $X_{k+1}$ deve contenere un tale $y$, che è l'immagine cercata.
