mmaridev · February 24, 2020 15:01
diff --git a/1relazione.tex b/1relazione.tex
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 % dichiara tipo documento
 \documentclass[a4paper]{article}

 % imposta codifica caratteri
 \usepackage[utf8]{inputenc}
 \usepackage{makeidx}
 \usepackage{graphicx}

 % imposta titolo, autore e data
 \title{Relazione esperienza laboratoriale di fisica\\
 Misura del valore di $g$ locale con l'ausilio di un pendolo}
 \author{}
 \date{}

 % disattiva numerazione pagine
 %\pagenumbering{gobble}

 % inizia documento
 \begin{document}

 Marco Marinello
 \hfill
 12/10/2018

 {\let\newpage\relax\maketitle}

 \section{Preambolo}

 \subsection{Obiettivo}
 Attraverso la misura del periodo di oscillazione di un pendolo calcolare il
 valore dell'accelerazione di gravità locale, la sua incertezza
 sperimentale e verificarne la significatività a livello statistico
 attraverso il confronto con i dati attesi ed i risultati ottenuti
 dagli altri gruppi.

 \subsection{Cenni teorici}
 \subsubsection{Il pendolo}
 Un pendolo è un qualsiasi oggetto in grado di oscillare intorno
 ad un punto di sospensione fisso.
 L'intervallo di tempo impiegato per compiere un'intera oscillazione
 è detto periodo e sarà indicato con $T$.
 Il pendolo semplice consiste in una massa concentrata
 le cui dimensioni sono trascurabili rispetto alla lunghezza del filo
 (approssimazione di un punto materiale) appesa
 ad un centro di sospensione mediante un filo inestensibile di massa trascurabile.
 La configurazione di equilibrio del pendolo è quella nella quale il
 centro di sospensione, il filo teso ed il centro della massa sono
 allineati lungo la verticale. Se a filo teso allontaniamo la massa
 dalla posizione di equilibrio, lasciandola libera, essa inizia ad
 oscillare attorno a questa posizione in un piano verticale.
 L'ampiezza delle oscillazioni è individuata dall’angolo $\alpha$
 fra la verticale ed il filo.
 Nel limite di piccole oscillazioni (indicativamente
 $\alpha<7^\circ$) l'attrito esercitato sul filo
 dall'aria rimane trascurabile. L'ampiezza dell'oscillazione
 diviene anch'essa trascurabile\footnote{
 La proprietà del pendolo di mantenere costante il periodo al
 variare dell'angolo $\alpha$ è
 detta \textit{isocronismo delle piccole oscillazioni} ed è stata
 osservata per la prima volta da Galielo Galilei nel 1592 misurando
 con i battiti cardiaci il periodo d'oscillazione di un lampadario
 del duomo di Pisa.
 } per\-met\-ten\-do così di eseguire la misura del periodo di più
 oscillazioni e poi dividere per il numero delle stesse
 (abbassando quindi l'errore).
 Il periodo di oscillazione dipende
 dalla lunghezza $l$ del filo con una legge data dalla relazione 
 $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ . Questa relazione può essere
 riscritta in funzione di $g$ come $g=\frac{4\pi^2 l}{T^2}$ .

 \subsubsection{Lo scarto quadratico medio}
 Lo scarto quadratico medio è un indice di dispersione statistico,
 vale a dire una stima della variabilità di una popolazione di dati
 o di una variabile casuale. La sua formula è \\
 $\sigma = \sqrt{\frac{\sum\limits_{i=1}^N (x_{i}-x_{M})^2}{N}}$


 \section{L'esperienza}

 \subsection{Materiali}
 \begin{itemize}
 \item asta con supporto;
 \item filo inestensibile;
 \item massa da sospendere.
 \end{itemize}


 \subsection{Attrezzature}
 \begin{itemize}
 \item Metro a nastro, con portata di $7.5m$ e sensibilità di $1 mm$; 
 \item Cronometro ($\pm0.2s$ dovuti ai tempi di reazione umani);
 \end{itemize}


 \subsection{Descrizione dell'esperienza}
 Abbiamo tagliato il filo inestensibile ad una lunghezza
 misurata con il metro a nasto di $1.100m \pm 0.001m$ e lo
 abbiamo fissato al supporto dell'asta. Abbiamo quindi
 sospeso la massa all'alto capo del filo ed iniziato le misure.
 Al fine di ridurre l'errore abbiamo misurato il tempo di più
 oscillazioni (5 nel nostro caso) per poi dividere ed ottenere
 il periodo.


 \subsection{Dati e tabelle}

 Nella seguente immagine c'è la determinazione dellla media e dello scarto quadratico
 medio (espressi in $s$) del tempo per compiere 5 oscillazioni.

 \begin{figure}[ht]
 \centering
 \includegraphics[scale=0.5]{misure_t.png}
 \end{figure}
 \newpage
 \subsection{Elaborazione dei dati}
 \subsubsection{Risultati delle misurazioni del tempo impiegato per compiere 5 oscillazioni}
 Determino la misura del tempo impiegato $t$ per compiere 5 oscillazioni, calcolando la media e lo scarto quadratico medio per l'incertezza. Essendo lo scarto quadratico medio maggiore
 dell'incertezza della singola misura,  
 tengo come incertezza lo scarto quadratico medio.

 $t = (10,04 \pm 0,32) s$

 \subsubsection{Determinazione del periodo}
 Determino il periodo T (dividendo t per 5):

 $T=(2,01\pm 0,06)s$


 \subsubsection{Determinazione del valore di $g$ con i dati ottenuti}
 $g=\frac{4\pi^2 l}{T^2}$ \\

 \vspace{2mm}
 $g_{max}=\frac{4\pi^2 1.101m}{1.95^2 s^2}=11,42\frac{m}{s^2}$ \hfill 
 $g_{min}=\frac{4\pi^2 1.099m}{2.07^2 s^2}=10,12\frac{m}{s^2}$ \\
 $g_{MEDIO}=\frac{g_{max}+g_{min}}{2}=10,77\frac{m}{s^2}$ \\

 La teoria della propagazione degli errori impone \\
 $g = (g_{MEDIO} \pm \frac{g_{max}-g_{min}}{2})$ \\
 $g = (10.77 \pm 0.65) \frac{m}{s^2}$

 \subsection{Confronto con gli altri gruppi}

 \subsubsection{Dati di $g$ ottenuti dagli altri gruppi}
 Riporto le misure di $g$ ricavate dagli altri gruppi:

 \begin{enumerate}
 \item $9.82 \pm 0.46 \frac{m}{s^2}$
 \item $9.3 \pm 0.2 \frac{m}{s^2}$
 \item $9.74 \pm 0.09 \frac{m}{s^2}$
 \item $10.77 \pm 0.87 \frac{m}{s^2}$
 \item $9.82 \pm 0.21 \frac{m}{s^2}$
 \item $9.82 \pm 0.3 \frac{m}{s^2}$
 \end{enumerate}
 \newpage
 \subsubsection{Calcolo dello scarto quadratico medio delle misure degli altri gruppi}
 $g_{MEDIO GRUPPI} = \frac{9.82+9.3+9.74+10.77+9.82+9.82}{6} = 9.88 \frac{m}{s^2}$
 \\
 \vspace{5mm}
 $\sigma = \sqrt{\frac{
 (9.82-9.86)^2 +
 (9.3-9.86)^2 +
 (9.74-9.86)^2 +
 (10.77-9.86)^2 +
 (9.82-9.86)^2 +
 (9.82-9.86)^2
 }{6}}$ \\
 $\sigma = 0.44$

 I risultati sono stati ottenuti costruendo la seguente tabella:
 \begin{figure}[!h]
 \centering
 \includegraphics[scale=0.5]{gruppi}
 \end{figure}

 \subsection{Osservazioni}
 Nonostante il valore trovato dal mio gruppo sia leggermente
 più distante dal valore atteso di quello trovato da altri gruppi,
 la media complessiva è un valore molto vicino al valore atteso.



 \subsection{Conclusioni}
 Il valore di $g$ è al di fuori dell'intervallo di misura ottenuto dal nostro gruppo.
 Può essere che abbiamo commesso un  errore sistematico di misura, di cui non ci siamo accorti.


 \end{document}
diff --git a/gruppi.png b/gruppi.png
diff --git a/misure_t.png b/misure_t.png
diff --git a/relazione.pdf b/relazione.pdf
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	\documentclass[a4paper]{article}

	% imposta codifica caratteri
	\usepackage[utf8]{inputenc}
	\usepackage{makeidx}
	\usepackage{graphicx}

	% imposta titolo, autore e data
	\title{Relazione esperienza laboratoriale di fisica\\
	Misura del valore di $g$ locale con l'ausilio di un pendolo}
	\author{}
	\date{}

	% disattiva numerazione pagine
	%\pagenumbering{gobble}

	% inizia documento
	\begin{document}

	Marco Marinello
	\hfill
	12/10/2018

	{\let\newpage\relax\maketitle}

	\section{Preambolo}

	\subsection{Obiettivo}
	Attraverso la misura del periodo di oscillazione di un pendolo calcolare il
	valore dell'accelerazione di gravità locale, la sua incertezza
	sperimentale e verificarne la significatività a livello statistico
	attraverso il confronto con i dati attesi ed i risultati ottenuti
	dagli altri gruppi.

	\subsection{Cenni teorici}
	\subsubsection{Il pendolo}
	Un pendolo è un qualsiasi oggetto in grado di oscillare intorno
	ad un punto di sospensione fisso.
	L'intervallo di tempo impiegato per compiere un'intera oscillazione
	è detto periodo e sarà indicato con $T$.
	Il pendolo semplice consiste in una massa concentrata
	le cui dimensioni sono trascurabili rispetto alla lunghezza del filo
	(approssimazione di un punto materiale) appesa
	ad un centro di sospensione mediante un filo inestensibile di massa trascurabile.
	La configurazione di equilibrio del pendolo è quella nella quale il
	centro di sospensione, il filo teso ed il centro della massa sono
	allineati lungo la verticale. Se a filo teso allontaniamo la massa
	dalla posizione di equilibrio, lasciandola libera, essa inizia ad
	oscillare attorno a questa posizione in un piano verticale.
	L'ampiezza delle oscillazioni è individuata dall’angolo $\alpha$
	fra la verticale ed il filo.
	Nel limite di piccole oscillazioni (indicativamente
	$\alpha<7^\circ$) l'attrito esercitato sul filo
	dall'aria rimane trascurabile. L'ampiezza dell'oscillazione
	diviene anch'essa trascurabile\footnote{
	La proprietà del pendolo di mantenere costante il periodo al
	variare dell'angolo $\alpha$ è
	detta \textit{isocronismo delle piccole oscillazioni} ed è stata
	osservata per la prima volta da Galielo Galilei nel 1592 misurando
	con i battiti cardiaci il periodo d'oscillazione di un lampadario
	del duomo di Pisa.
	} per\-met\-ten\-do così di eseguire la misura del periodo di più
	oscillazioni e poi dividere per il numero delle stesse
	(abbassando quindi l'errore).
	Il periodo di oscillazione dipende
	dalla lunghezza $l$ del filo con una legge data dalla relazione
	$T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ . Questa relazione può essere
	riscritta in funzione di $g$ come $g=\frac{4\pi^2 l}{T^2}$ .

	\subsubsection{Lo scarto quadratico medio}
	Lo scarto quadratico medio è un indice di dispersione statistico,
	vale a dire una stima della variabilità di una popolazione di dati
	o di una variabile casuale. La sua formula è \\
	$\sigma = \sqrt{\frac{\sum\limits_{i=1}^N (x_{i}-x_{M})^2}{N}}$


	\section{L'esperienza}

	\subsection{Materiali}
	\begin{itemize}
	\item asta con supporto;
	\item filo inestensibile;
	\item massa da sospendere.
	\end{itemize}


	\subsection{Attrezzature}
	\begin{itemize}
	\item Metro a nastro, con portata di $7.5m$ e sensibilità di $1 mm$;
	\item Cronometro ($\pm0.2s$ dovuti ai tempi di reazione umani);
	\end{itemize}


	\subsection{Descrizione dell'esperienza}
	Abbiamo tagliato il filo inestensibile ad una lunghezza
	misurata con il metro a nasto di $1.100m \pm 0.001m$ e lo
	abbiamo fissato al supporto dell'asta. Abbiamo quindi
	sospeso la massa all'alto capo del filo ed iniziato le misure.
	Al fine di ridurre l'errore abbiamo misurato il tempo di più
	oscillazioni (5 nel nostro caso) per poi dividere ed ottenere
	il periodo.


	\subsection{Dati e tabelle}

	Nella seguente immagine c'è la determinazione dellla media e dello scarto quadratico
	medio (espressi in $s$) del tempo per compiere 5 oscillazioni.

	\begin{figure}[ht]
	\centering
	\includegraphics[scale=0.5]{misure_t.png}
	\end{figure}
	\newpage
	\subsection{Elaborazione dei dati}
	\subsubsection{Risultati delle misurazioni del tempo impiegato per compiere 5 oscillazioni}
	Determino la misura del tempo impiegato $t$ per compiere 5 oscillazioni, calcolando la media e lo scarto quadratico medio per l'incertezza. Essendo lo scarto quadratico medio maggiore
	dell'incertezza della singola misura,
	tengo come incertezza lo scarto quadratico medio.

	$t = (10,04 \pm 0,32) s$

	\subsubsection{Determinazione del periodo}
	Determino il periodo T (dividendo t per 5):

	$T=(2,01\pm 0,06)s$


	\subsubsection{Determinazione del valore di $g$ con i dati ottenuti}
	$g=\frac{4\pi^2 l}{T^2}$ \\

	\vspace{2mm}
	$g_{max}=\frac{4\pi^2 1.101m}{1.95^2 s^2}=11,42\frac{m}{s^2}$ \hfill
	$g_{min}=\frac{4\pi^2 1.099m}{2.07^2 s^2}=10,12\frac{m}{s^2}$ \\
	$g_{MEDIO}=\frac{g_{max}+g_{min}}{2}=10,77\frac{m}{s^2}$ \\

	La teoria della propagazione degli errori impone \\
	$g = (g_{MEDIO} \pm \frac{g_{max}-g_{min}}{2})$ \\
	$g = (10.77 \pm 0.65) \frac{m}{s^2}$

	\subsection{Confronto con gli altri gruppi}

	\subsubsection{Dati di $g$ ottenuti dagli altri gruppi}
	Riporto le misure di $g$ ricavate dagli altri gruppi:

	\begin{enumerate}
	\item $9.82 \pm 0.46 \frac{m}{s^2}$
	\item $9.3 \pm 0.2 \frac{m}{s^2}$
	\item $9.74 \pm 0.09 \frac{m}{s^2}$
	\item $10.77 \pm 0.87 \frac{m}{s^2}$
	\item $9.82 \pm 0.21 \frac{m}{s^2}$
	\item $9.82 \pm 0.3 \frac{m}{s^2}$
	\end{enumerate}
	\newpage
	\subsubsection{Calcolo dello scarto quadratico medio delle misure degli altri gruppi}
	$g_{MEDIO GRUPPI} = \frac{9.82+9.3+9.74+10.77+9.82+9.82}{6} = 9.88 \frac{m}{s^2}$
	\\
	\vspace{5mm}
	$\sigma = \sqrt{\frac{
	(9.82-9.86)^2 +
	(9.3-9.86)^2 +
	(9.74-9.86)^2 +
	(10.77-9.86)^2 +
	(9.82-9.86)^2 +
	(9.82-9.86)^2
	}{6}}$ \\
	$\sigma = 0.44$

	I risultati sono stati ottenuti costruendo la seguente tabella:
	\begin{figure}[!h]
	\centering
	\includegraphics[scale=0.5]{gruppi}
	\end{figure}

	\subsection{Osservazioni}
	Nonostante il valore trovato dal mio gruppo sia leggermente
	più distante dal valore atteso di quello trovato da altri gruppi,
	la media complessiva è un valore molto vicino al valore atteso.



	\subsection{Conclusioni}
	Il valore di $g$ è al di fuori dell'intervallo di misura ottenuto dal nostro gruppo.
	Può essere che abbiamo commesso un errore sistematico di misura, di cui non ci siamo accorti.


	\end{document}