型の違う関数をキーで呼び分けたい時の処理

error.ts

const ErrorMessageTemplate = {
  ElementNotFoundError({ elementId }: { elementId: string }) {
    return `element not found: elementId=${elementId}`;
  },
  UserNotFoundError({ userId }: { userId: string }) {
    return `user not found: userId=${userId}`;
  },
};

export class AppError<
  K extends keyof typeof ErrorMessageTemplate
> extends Error {
  constructor(
    public readonly functionName: string,
    public readonly name: K,
    public readonly value: Parameters<typeof ErrorMessageTemplate[K]>[0],
    public readonly cause?: Error
  ) {
    const template = ErrorMessageTemplate[name] as (
      arg: Parameters<typeof ErrorMessageTemplate[K]>[0]
    ) => string;
    super(template(value));
  }
}

genericsだけで全部解決しようとしたが出来なかった。
関数内でキャストして問題を回避した。