確率1 (基礎概念).ipynb

【分散共分散行列】のところですが、以下のようではないでしょうか？なにぶん初心者のため、よくわからないんですが。

平均が$\mu=E[X]$である$n$次元確率変数 $X$ に対して, 各成分が以下で定義される $n$ 次正方行列を分散共分散行列(variance-covariance matrix)と呼ぶ。

$$E_{ij}=E[(X_i-E[X_i])(X_j-E[X_j])]$$

つまり、$ \sum_{ij} =V[X_i],\sum_{ij}=Cov[X_i,X_j] ;;; (i\neq j)$である。

これは以下のように書き表す事ができる為、分散の多次元分布への一般化とみなす事が出来ます。

$$\sum =E[(X-\mu)(X-\mu)^T] =\sum = E[XX^T]-E[X]E[X]^T $$

また、分散共分散行列 $\Sigma$ は必ず半正定値対称行列になります。対称行列であるのは定義より明らかで、任意のベクトル $a$ に対して

$$a^T\sum a=a^T E[XX^T]a-a^T E[X]E[X]^T a =E[(a^T X)(a^T X)^T]-E[a^T X]^2=V[a^TX] \geq 0$$

となるからです。