ทำไม $2^{136279841} - 1$ จึงเขียนเป็นเลขฐานสิบได้ 41024320 ตำแหน่ง ต้นฉบับใน https://www.facebook.com/share/p/Q4d2xXo63Wuu1vMw/
จากที่ผู้เขียนเกิดความสงสัยว่า $2^{136279841} - 1$ ทำไมถึงเขียนเป็นเลขฐานสิบได้ 41024320 ตำแหน่ง ก็เลยไปนั่งคิดจนกระทั่งได้วิธีการมาดังนี้
ขอลดรูปคำถาม* เป็น $2^P$ ทำไมถึงเขียนเป็นเลขฐานสิบได้ 41024320 ตำแหน่ง ก็ต้องตีโจทย์กันต่อว่าการนับตำแหน่งในเลขฐาน 10 มันคือการเขียนคำตอบให้อยู่ในรูป $10^n$ นั่นเอง
ดังนั้นเป้าหมายของเราคือหา n ซึ่งทำให้ สมการด้านล่างนี้เป็นจริง
$$
2^P = 10^n
$$
ความเป็นไปได้ในการหาคำตอบ ผู้เขียนคิดถึงความเป็นไปได้อยู่สองวิธีก็คือ
คำนวณ $2^P$ มันเลยอย่างนั้น แล้วค่อยไปนับหลักเอาละกัน
ใช้ค่า P เพื่อคำนวณออกมาได้ไหม
คำนวณ $2^P$ มันเลยอย่างนั้น แนวทางนี้สุดโต่งถือเป็นการใช้กำลังเยอะสุดคือคำนวณ 2 คูณกันไปเรื่อย ๆ P ครั้ง ซึ่งแนวทางนี้เราไม่อาจใช้เครื่องคิดเลขธรรมดาจิ้มหาคำตอบให้เราได้หรอกครับว่ามันคือจำนวนฐานสิบกี่ตัว เพราะคิดเลขมัน overflow ครับ มันตายเพราะความจำมันเต็มก่อน ดังนั้นเราจะไปอีกแนวทางหนึ่งนะครับ
ใช้ค่า P เพื่อคำนวณออกมาได้ไหม แนวทางนี้ดูเหมือนจะเป็นวิธีที่เหมาะสมกับเครื่องคิดเลขธรรมดาที่เรามี ที่เราจะสามารถใช้จิ้มหาคำตอบได้สุดแล้วล่ะครับ
มีเครื่องมืออะไรในมือบ้าง เครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่ผู้เขียนนึกถึงเป็นอย่างแรกคือ คุณสมบัติของเลขยกกำลัง (Exponential Properties) จากนั้นคิดก็ลองเขียนไปเขียนมา ปรากฏว่าต้องมีเรื่อง Logarithm เข้ามาเกี่ยวด้วย (จะกล่าวต่อไปว่าเกี่ยวอย่างไร)
ใช้สัญชาตญาน (Intuition) ไว ๆ เริ่มจากการคิดว่า $2^P$ เราจะทำให้มันเป็น $10^n$ อย่างไรดีหว่า เพราะ 10 มันเขียนเป็น $2^a$ ไม่ได้ งั้นลอง 8 ก่อน ก็คือทำไงให้สามารถเขียน
$$
2^P = 8^b
$$
เนื่องจาก 8 ใกล้เคียง 10 ที่สุดแล้ว ที่สามารถเขียนในรูป $2^a$ ได้ เนื่องจาก $8 = 2\times2\times2 = 2^3$ และ $2 = \sqrt[3]{8}$ ดังนั้นเราจะใช้ 8 ก่อน แล้วจึงพบว่า
$$
2^P = 8^{\frac{P}{3}}
$$
ซึ่งลองคำนวณตัวเลขก็สมเหตุสมผลมาก ๆ คือ $\frac{136279841}{3} = 45426613.67$
$$\begin{aligned}
2^{136279841} & = 8^{45426613.67} \\
& = (2\cdot2\cdot2)^{45426613.67} \\
& = 2^{45426613.67 + 45426613.67 + 45426613.67} \\
& = 2^{(3)(45426613.67)}
\end{aligned}$$
ทีนี้ ๆ ถ้าเราสามารถเขียน 10 ให้อยู่ในรูป $2^a$ ได้ก็จะจบเลยใช่ไหมครับ ก็เอา P หารด้วย a ก็จะได้ n เลย ดังนั้น เราก็เลยอยากรู้ว่า a มีค่าเท่าไหร่ ในสมการ $2^a = 10$ ใช่ไหมครับ พอถึงตอนนี้ความรู้เรื่องเลขยกกำลังอย่างเดียวก็จะไม่พอแล้วล่ะครับ ดังนั้นถึงจุดนี้ก็ต้องอาศัยคุณสมบัติของ Logarithm เข้ามาช่วยครับ เริ่มเลย
$$\begin{aligned}
2^a & = 10 \\
log_{10}2^a & = log_{10}10 && \text{ใส่ $log_{10}$ ทั้งสองข้าง} \\
a \cdot log_{10}2 & = log_{10}10 && \text{จากสมบัติ $log_a{b}^c = c \cdot log_a{b}$ } \\
a \cdot log_{10}2 & = 1 && \text{จากสมบัติ $log_a{a} = 1$} \\
a & = \frac{1}{log_{10}2}
\end{aligned}$$
ดังนั้นเราก็ได้คำตอบของเรา n จาก
$$\begin{aligned}
n & = \frac{P}{\frac{1}{log_{10}{2}}} \\
n & = P \cdot log_{10}{2}
\end{aligned}$$
เพราะฉะนั้น $2^{136279841} \approx 10^{41024320}$
หรือเขียนเป็นฐานสิบได้ 41024320 ครับ
ปล. เราสามารถเขียน n ให้สวยขึ้นอีกนิดนึงด้วยการใช้คุณสมบัติ Logarithm ได้แบบนี้ครับ
$$\begin{aligned}
n & = P \cdot log_{10}{2} \\
& = P \cdot \frac{ln{2}}{ln{10}} && \text{จากสมบัติ $log_a{b} = \frac{log_c{b}}{log_c{a}}$}
\end{aligned}$$
ดังนั้นหากต้องการคำนวณหลักของฐานอื่นๆ ที่ไม่ใช่ฐานสิบ เช่น ฐาน 16 ก็สามารถใช้เทคนิคนี้หาคำตอบได้ครับ คือ
$$
2^P = 16^{P \cdot \frac{ln{2}}{ln{16}}}
$$
เป็นต้น
*การลดรูปคำถาม
จากจำนวน $2^{136279841} - 1$ ขอตัดให้เหลือเพียง $2^{136279841}$ เพราะ -1 กระทบกับหลักสุดท้ายเพียงหลักเดียว และ $2^{136279841}$ ไม่มีทางเป็นตัวเลขกลมๆ ที่สามารถเขียนในรูป $10^n$ ได้ โดยที่ n เป็นจำนวนเต็มได้ เช่น
$$10^5 = 10000$$
ไม่เช่นนั้น $10^n - 1$ จะได้เป็นจำนวน 999.. ซึ่งมีหลักเป็น n-1 ตำแหน่งเช่น
$$10^5 - 1 = 10000 - 1 = 9999$$
ดังนั้น การตัด -1 ออกจึงไม่ควรกระทบกับตำแหน่งของคำตอบในเลขฐานสิบ
และขอแทน 136279841 ให้เป็น P
