Introdução ao Octave. Experimento: Resolver um sistema possível determinado.

pivot.m

% Função para Pivotar a Matriz
% 1 - Procurar o maior valor na coluna K e armazenar a linha
function g = pivot(n, A, k) 
Amax = 0;
imax = 0;
for i = k : n
	if(abs(A(i,k)) > Amax)
		Amax = abs(A(i,k)); % Buscar o maior valor da coluna
		imax = i;	   % Guarda a a linha que contem o maior valor
	endif;
endfor
Aaux = A(k,:); % Guarda o vetor linha
A(k, :) = A(imax, :);
A(imax, :) = Aaux;

g = A; % Retorna a Matriz
endfunction

residuos.m

% Função para Cálculo de Resíduos
function g = residuos(n, x, A)

	for i = 1 : n
	soma = 0;
		for j = 1 :n
			soma += A(i,j) * x(j);
		endfor
	r(i) = abs(soma  - A(i, n+1)); %r(1) = |a11*x1 + a12*x2 + a13*x3 - a14|
	endfor
	g = r;
endfunction

sistemas.m

n = 3 % Matriz de ordem 3
a = [
	[ 0.448 0.832  0.193 1]; 
	[ 0.421 0.784 -0.207 0]; 
	[-0.421 0.784  0.279 0];
]

A_Orig = a;
% -- Escalonar Matriz --
for k = 1 : n - 1
	%Pivotação Parcial
	a=pivot(n,a,k)
	for i = k + 1 : n
		aux = a(i,k)/a(k,k);
		for j = k + 1 : n + 1 %O k+1 evita fazer operações em que já sabemos o resultado
			a(i,j) = a(i,j) - aux*a(k,j);
		endfor
		a(i,k) = 0;
	endfor
endfor

a % Imprime a matriz escalonada

% -- Encontrar as Soluções --
	
% a(3,3)*x(3) = a(3,4)
% a(n,n)*x(n) = a(n, n+1)

x(n) = a(n,n+1)/a(n,n)
for i = n - 1: -1:1 % -1 é o delta, ou seja, o espaçamento ou decremento
	soma = 0;	
	for j = i + 1 : n
		
		soma += a(i,j) * x(j);
	endfor
	x(i) = ( a(i, n+1) - soma) / a(i,i);
endfor
x

% Calcular os residuos
r = residuos(n,x,A_Orig)
r(1)
r(2)
r(3)

sistemas_impossiveis.m

n = 3 % Matriz de ordem 3
a = [
	[ 0.448 0.832  0.193 1]; 
	[ 0.421 0.784  0.207 0]; 
	[ 0.421 0.784  0.279 12]; % Linha 2 * -1 , ou seja, linha linearmente depentende a linha 2
]

A_Orig = a;
% -- Escalonar Matriz --
for k = 1 : n - 1
	
	a = pivot(n,a,k) %Pivotação Parcial
	% Esse é o melhor momento para normalizar a matriz, pois já foi escolhida a melhor linha na pivotação
	a = normalizacao(n,a,k) # Retorna a matriz normalizacao
	for i = k + 1 : n 
		aux = a(i,k)/a(k,k);
		for j = k + 1 : n + 1 % O k+1 evita fazer operações em que já sabemos o resultado
			a(i,j) = a(i,j) - aux*a(k,j);
		endfor
		a(i,k) = 0;
	endfor
endfor
a = normalizacao(n,a,n) % Normaliza a linha que não foi normalizada, ou seja, a última
a % Imprime a matriz escalonada

% -- Encontrar as Soluções --
	
if(abs(a(n,n)) > 1.e-15)
	% a(3,3)*x(3) = a(3,4)
	% a(n,n)*x(n) = a(n, n+1)

	x(n) = a(n,n+1)/a(n,n)
else 
	if(abs(a(n,n+1)) > 1.e-15)
	x(n) = 1;
	printf("Sistema Impossível")
	end;
end 
for i = n - 1: -1:1 % -1 é o delta, ou seja, o espaçamento ou decremento
	soma = 0;	
	for j = i + 1 : n
		
		soma += a(i,j) * x(j); % Somatorio de j = i+1 até n de a(i,j)*x(j)
	endfor
	x(i) = ( a(i, n+1) - soma);
endfor
x
% Calcular os residuos
r = residuos(n,x,A_Orig)
r(1)
r(2)
r(3)

sistemas_indeterminados.m

n = 3 % Matriz de ordem 3
a = [
	[ 0.448 0.832  0.193 1]; 
	[ 0.421 0.784 -0.207 0]; 
	[-0.421 -0.784 0.279 0]; % Linha 2 * -1 , ou seja, linha linearmente depentende a linha 2
]

A_Orig = a;
% -- Escalonar Matriz --
for k = 1 : n - 1
	
	a = pivot(n,a,k) %Pivotação Parcial
	% Esse é o melhor momento para normalizar a matriz, pois já foi escolhida a melhor linha na pivotação
	a = normalizacao(n,a,k) # Retorna a matriz normalizacao
	for i = k + 1 : n 
		aux = a(i,k)/a(k,k);
		for j = k + 1 : n + 1 % O k+1 evita fazer operações em que já sabemos o resultado
			a(i,j) = a(i,j) - aux*a(k,j);
		endfor
		a(i,k) = 0;
	endfor
endfor
a = normalizacao(n,a,n) % Normaliza a linha que não foi normalizada, ou seja, a última
a % Imprime a matriz escalonada

% -- Encontrar as Soluções --
	
if(abs(a(n,n)) > 1.e-15)
	% a(3,3)*x(3) = a(3,4)
	% a(n,n)*x(n) = a(n, n+1)

	x(n) = a(n,n+1)/a(n,n)
else 
	x(n) = 1;
	printf("Sistema Indeterminado")	
end 

for i = n - 1: -1:1 % -1 é o delta, ou seja, o espaçamento ou decremento
	soma = 0;	
	for j = i + 1 : n
		
		soma += a(i,j) * x(j); % Somatorio de j = i+1 até n de a(i,j)*x(j)
	endfor
	x(i) = ( a(i, n+1) - soma);
endfor
x
% Calcular os residuos
r = residuos(n,x,A_Orig)
r(1)
r(2)
r(3)

sistemas_normalizado.m

n = 3 % Matriz de ordem 3
a = [
	[ 0.448 0.832  0.193 1]; 
	[ 0.421 0.784 -0.207 0]; 
	[-0.421 0.784  0.279 0];
]

A_Orig = a;
% -- Escalonar Matriz --
for k = 1 : n - 1
	
	a = pivot(n,a,k) %Pivotação Parcial
	% Esse é o melhor momento para normalizar a matriz, pois já foi escolhida a melhor linha na pivotação
	a = normalizacao(n,a,k) # Retorna a matriz normalizacao
	for i = k + 1 : n 
		aux = a(i,k)/a(k,k);
		for j = k + 1 : n + 1 % O k+1 evita fazer operações em que já sabemos o resultado
			a(i,j) = a(i,j) - aux*a(k,j);
		endfor
		a(i,k) = 0;
	endfor
endfor
a = normalizacao(n,a,n) % Normaliza a linha que não foi normalizada, ou seja, a última
a % Imprime a matriz escalonada

% -- Encontrar as Soluções --
	
% a(3,3)*x(3) = a(3,4)
% a(n,n)*x(n) = a(n, n+1)

x(n) = a(n,n+1)/a(n,n)
for i = n - 1: -1:1 % -1 é o delta, ou seja, o espaçamento ou decremento
	soma = 0;	
	for j = i + 1 : n
		
		soma += a(i,j) * x(j); % Somatorio de j = i+1 até n de a(i,j)*x(j)
	endfor
	x(i) = ( a(i, n+1) - soma);
endfor
x
% Calcular os residuos
r = residuos(n,x,A_Orig)
r(1)
r(2)
r(3)

Passos seguidos em aula:
1 - Escalonar Matriz
2 - Encontrar as Soluções
3 - Calcular Resíduos
4 - Criar método de Pivotação
5 - Novo sistema com resolução de equações com normalização
6 - Criar método para Normalização
7 - Resolução de Sistemas Indeterminados
8 - Resolução de Sistemas Impossíveis