고등학교 과정에서 배우는 평균값 정리는 다음과 같다.
"함수 f가 닫힌구간 [a, b]에서 연속이고 열린구간 (a, b)에서 미분가능하면, f(b)-f(a)=f '(c)(b-a)를 만족하는 실수 c가 열린구간 (a, b)에 존재한다."
평균값 정리는 주어진 구간의 평균변화율과 접선의 기울기가 같아지는 어떤 점이 존재한다는 것을 말하고 있다. 반면에, 다음과 같은 명제는 어떨까?
"함수 f가 닫힌구간 [a, b]에서 연속이고 열린구간 (a, b)에서 미분가능하면, 열린구간 (a, b)에 속하는 임의의 c에 대하여 f(s)-f(t)=f '(c)(s-t), s<c<t를 만족하는 실수 s, t가 열린구간 (a, b)에 존재한다."
흔히 이를 "평균값 정리의 역"이라고 하는데, 일반적으로 이 명제는 참이 아니므로 주의해야 한다. f(x)=x^3만 생각해 보아도 f '(0)=0이지만 임의의 s<t에 대해 f(s)-f(t)<0이기 때문이다.
"평균값 정리의 역"은 몇 가지 추가적인 조건을 덧붙이면 참이 되게 할 수 있다.
"함수 f가 닫힌구간 [a, b]에서 연속이고 열린구간 (a, b)에서 미분가능할 때, 열린구간 (a, b)에 속하는 임의의 c에 대하여 (1) Weak Form: f '(c)가 구간 (a, b)에서 도함수 f '의 치역 {f '(x) | x∈(a, b) }의 최소상계(sup) 또는 최대하계(inf)가 아니면, f(s)-f(t)=f '(c)(s-t)를 만족하는 부분구간 (s, t)⊂(a, b)가 존재한다.
(2) Strong Form: f '(c)가 구간 (a, b)에서 도함수 f '의 극값이 아니고, x=c가 집합 A(c)={ x∈(a, b) | f '(x) = f '(c) }의 집적점(accumulation point)이 아니면, f(s)-f(t)=f '(c)(s-t), s<c<t를 만족하는 실수 s, t가 열린구간 (a, b)에 존재한다.
(3) f '(c)가 구간 (a, b)에서 도함수 f '의 극값이면, 즉 x=c를 포함하는 적당한 열린구간 (a*, b*)⊂(a, b)에서 f '(c)가 최댓값이면 f는 x=c에서 국소적으로 선형(locally linear)이거나, x=c를 포함하는 모든 열린구간 (α, β)⊂(a*, b*)에서 f '(c) ≠ { f(β)-f(α) } / (β-α)이다."
즉, 도함수 f '의 극점, 즉 함수 f의 변곡점에서는 항상 조심해야 한다는 것을 알 수 있다. 또한, Tong & Braza는 Strong Form의 경우에 극값이 아니어도 집적점에서 문제가 생길 수 있는 다음과 같은 예도 제시하였다.
x>0일 때 g(x) = x^3 sin(1/x) + (1/2) x^2
x=0일 때 g(0) = 0
x<0일 때 g(x) = x^3 sin(1/x) - (1/2) x^2
이 경우에는 g '(0)=0이고 이 값이 도함수 g '의 극값이 아니지만 a<0<b이면 항상 g(a) < 0 < g(b)가 되기 때문에 x=0을 포함하는 구간 [a, b]에서의 평균변화율이 0이 되지 않는다. 그 이유는 x=0이 집적점이기 때문이다.
a. J. Tong and P.A. Braza, "A converse of the mean value theorem", Amer. Math. Monthly 106(1997), pp. 939 b. Gen-Bin Huang, "Topics on Mean Value Theorem" c. Ricardo Almeida, "An elementary proof of a converse mean value theorem"