http://www.geeksforgeeks.org/dynamic-programming-set-36-cut-a-rope-to-maximize-product/

gistfile1.md

###最大乘积分析

####原题 一根绳子，长度为n米。将其切成几段，每一段的长度都是整数。请给出一种切法，使得切成的各段绳子之间的乘积是最大的。注意，最少要切一下的。 ####分析 这个题目如何一步一步的分析呢？不管切几段，总有第一段，第二段…等等。第一段的长度有哪些选择呢？可以是1、2、3...一直到n-1（至少要切一下），我们用max_prod(n)表示长度为n的绳子的切法中，乘积最大的值。那么：

1. 当第一段长度为1时，最大的乘积为：max(1×max_prod(n-1), 1×(n-1))
2. 当第一段长度为2时，最大的乘积为：max(2×max_prod(n-2), 2×(n-2))
3. …
4. 当第一段长度为n-1时，最大的乘积为：(n-1)*1=n-1

上面为什么是取max呢？注意，题目中的要求，至少是要切一下的。这样，从上面的分析中得出，递归的表达式，设第一段绳子的长度为i，取值范围为[1,n-1]，则，对于每一个i，有最大乘积为:max(i×(n-i),i×max_prod(n-i))。然后对所有的i，求的最大值，就是最终的答案。

这个题目到这里完了么？看过我们以前分析的同学，很快就能想到，进而查看，这些子问题中是否有重复的，如果有，则可以采用动态规划的方法进行算法改进。而查看是否有重复递归子问题，一个比较好的方法，就是在纸上画出递归树，然后是否有重复的递归子问题。就一目了然了。这个题目是比较明显的，同学们可以尝试自己在纸上画画，练习一下。

既然，我们已经明确了重复的递归子问题，然后呢？相信专门学习过动态规划专题的同学，都会记得这样的一句话：“自顶向下的分析问题，自底向上的解决问题”，大概类似，可能并不是原话。自底向上解决问题的意思就是先解决小问题，然后依据这些小问题的结果，再解决一批问题，依次直至解决整个问题：

1. 当绳子的长度为1的时候，忽略，不能切
2. 当绳子的长度为2的时候，切一刀，max_prod[2]=1×1
3. 当绳子的长度为3的时候，切一刀，max_prod[3]=1×2
4. 当绳子的长度为4的时候，依赖前面每一个长度的切法，并且，第一个长度从2开始。
5. …

这个，状态转移方程可以表示为:max_prod[i]=max((i-j)×j, j×max_prod[i-j])，其中j的范围是[1,i/2]。显然，动态规划方法的时间复杂度为O(n^2)，空间复杂度为O(n)。

这个问题，到这里，已经挺不错的。不过，还没完，这个题目是有更加巧妙的方法的。在微博上，有的同学给出了如下的方法：只需要将长度n表示为3x+2y=n，并且3尽可能的多，这样的3^x+2^y是最大的。不得不赞叹，这确实是一个很巧妙的方法。大家可以通过例子，验证几个。为什么只有3和2呢？长度为4的，就是2×2，5以上的，都可以分解为3x+2y，并且3^x+2^y>5以上的数字。这个题目要求是整数，如果取消这个限制呢？拓展思路，举一反三，请大家多多思考。

【分析完毕】

对于一个数而言，分成两部分的乘积，应该是从中间开始划分，会保证这两个数的乘积最大。问题是否可以化解成分治的情况。还是看Code吧，这个想法和化解成2，3的乘积类似。

unsigned int solve(unsigned int n)
{
    unsigned int helper(unsigned int);
    if(n <= 3)
        return n - 1;

    return helper(n);
}

unsigned int helper(unsigned int n)
{
    if(n <= 4)
        return n;

    unsigned int l = n/2, r = n/2;

    if(n%2) r += 1;

    return helper(l) * helper(r);
}