My tex file for memo. Credit: http://cls.snu.ac.kr/node/12

template.tex

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%		GLOBAL SETUP					%
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Equation Numbering %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

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\rnc{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}}
\@addtoreset{equation}{section}
\makeatother

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%
%		AUTHOR'S COMMANDS AND MACROS COME HERE
%
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\begin{document}
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%								%
%			TITLE PAGE
%								%
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\begin{titlepage}

{\grph Something}
\hfill {\grph }

\vspace*{4.0cm}
\centerline{\Large\bf Title}

\vspace*{2.0cm}
\centerline{\large Jamie Seol}
\vspace*{1.0cm}
\centerline{[email protected]}

\vspace*{2.0cm}
\begin{abstract}
My abstract.
\end{abstract}
\vskip 0.5cm
\vspace*{1.1cm}

\end{titlepage}
\setcounter{footnote}{0}

\section{Section}

Section.

\subsection{Subsection}

Prove that VC-dimension \cite{textbook} of $\text{sign}(\sin 2 \pi \omega x)$ is $\infty$.

\

아이디어: $\omega = 2^0, 2^1, 2^2, ..., 2^{2^n - 1}$을 사용해서 fitting을 해보자. 사실 이 $\omega$를 2배씩 늘릴때마다, 각 구간이 절반으로 쪼개져서 왼쪽은 +, 오른쪽은 -가 된다. 그래서 $n=3$이면 예컨대 구간 (0, 1/8)에 있는 점들은 왼-왼-왼이기 때문에 항상 +가 된다. 왼-오-왼을 구현하려면, (1/4, 3/8) 사이에 점을 배치하면 된다. 어떤 부호의 sequence $s_1, s_2, ..., s_{2^n}$이 주어졌을때, 구간을 처음에 (0, 1)로 시작해서 $i=1$부터, $s_i$가 +면 현재 구간을 둘로 나눠서 왼쪽을, -면 오른쪽을 택하기를 반복한다. 즉, $(a_0, b_0) = (0, 1)$일 때

\[
(a_{i+1}, b_{i+1}) =
     \begin{cases}
       (a_{i}, a_{i} + (b_{i} - a_i)/2), &\quad\text{if} \, s_{i+1} = +\\
       (a_{i} + (b_{i} - a_i)/2, b_i) &\quad\text{if} \, s_{i+1} = - \\
     \end{cases}
\]

로 계산하면 된다. 그럼 점 $x \in (a_{2^n}, b_{2^n})$에 대해서, 정확히 $\text{sign}(\sin 2 \pi \omega x) = s_{\log_2 \omega + 1}$가 성립한다.

이제 $n$개의 점들을, 다음과 같은 규칙으로 배치하면 된다: $k$번째 점은, 부호 sequence $s_i = \lceil \frac{i}{2^{k - 1}} \rceil \, \text{mod} \, 2$를 만들고 이를 통해 $(a_{2^n}, b_{2^n})$를 계산하고, 이 구간 안에 아무곳이나 배치한다. $n$개의 점에 대해서 모든 가능한 부호의 조합은 총 $2^n$개고, 위 규칙은 모든 경우의 수를 정확히 한개씩 대응시킨다. 그리고 이때 해당 calibration을 표현할 수 있는 $\omega$가 반드시 존재한다. 즉, 이 점들의 집합을 shattering 하는 것이고 따라서 $\text{sign}(\sin 2 \pi \omega x)$의 VC-dimension은 $\infty$가 된다.

\subsection{Subsection}

\subsubsection{Subsubsection}

\begin{equation}
    f(x) = x + 1
\end{equation}

\begin{equation}
    \begin{split}
        f(x) &= x + 1 \\
        &= (x + 2) - 1
    \end{split}
\end{equation}

\newpage
\begin{thebibliography}{99}

\bibitem{textbook}
James, Gareth, et al. \emph{An introduction to statistical learning}. Vol. 112. New York: springer, 2013.

\end{thebibliography}

\end{document}