BuscaController

<?php

namespace App\Http\Controllers\Web;

use Illuminate\Http\Request;
use App\Http\Controllers\Controller;
use App\Models\Establishment;
use App\Models\Nature;
use App\Models\Specialty;
use Illuminate\Support\Facades\DB;


class SearchController extends Controller
{

    public function search(Establishment $establishment)
    {
        $search = \Request::get('result');
        if ($search) {
            //$establishmens =  $establishment->all();
            $establishmens = $establishment::where('nmFantasia', 'like', '%' . $search . '%')->paginate(25);
            return view('web.search', compact('establishmens', 'search'));
        } else {
            return 'Nenhum termo digitado';
        }
    }


  /*public function specialty()
    {
        /*$search = \Request::get('result');
        if ($search) {
        $users = DB::table('estabelecimento')
        ->select('nmFantasia', 'nmEspecialidade')
        ->join('especialidade_estabelecimento', 'idUnidade', '=', 'estabelecimento_idUnidade')
        ->join('especialidade', 'idEspecialidade', '=', 'especialidade_idEspecialidade')
        ->get();

        foreach ($users as $user) {
        echo " {$user->nmFantasia}<br> ";
        echo "<b>{$user->nmEspecialidade}</b><br>";
        } }else {
        return 'Nenhum termo digitado';
        }
      }*//*
        $search = \Request::get('result');
        if ($search) {
            $especialidade = Specialty::where('nmEspecialidade', 'like', '%' . $search . '%')->get()->first();
            echo "{$especialidade->nmEspecialidade}<br/>";
            $unidades = $especialidade->establishments;
            foreach ($unidades as $unidade) {
                echo "{$unidade->nmFantasia}<br/>";
            }
        } else {
            return 'Nenhum termo digitado';
        }
    }*/
}

Estabelecimento

<?php

namespace App\Models;

use Illuminate\Database\Eloquent\Model;
use App\Models\Establishment;
use App\Models\Nature;
use App\Models\Specialty;

class Establishment extends Model
{
  //
  public $table = "estabelecimento";
  protected $fillable = ['nmFantasia'];
  protected $primaryKey = 'idUnidade';

  public function specialtys () {
  //return $this->belongsToMany(Specialty::class, 'especialidade_estabelecimento', 'especialidade_idEspecialidade', 'estabelecimento_idUnidade');
  return $this->belongsToMany('App\Models\Specialty', 'especialidade_estabelecimento', 'especialidade_idEspecialidade', 'estabelecimento_idUnidade');

  }

  public function type () {
  //return $this->belongsToMany(Specialty::class, 'especialidade_estabelecimento', 'especialidade_idEspecialidade', 'estabelecimento_idUnidade');
  return $this->hasOne('App\Models\tipo');

  }
}

tipo

<?php
namespace App\Models;

use Illuminate\Database\Eloquent\Model;

class Type extends Model
{

  public $table = "tipoestabelecimento";
  protected $primaryKey = 'idTipoEstabelecimento';
  protected $fillable = ['nmTipoEstabelecimento'];

public function establishment () {
  return $this->hasMany('App\Models\Estabelecimento', 'tipoestabelecimento', 'tipoestabelecimento_idTipoEstabelecimento');
}
}

O relacionamento tem que ser assim, pois o nome da coluna da FK não corresponde ao padrão que o laravel suporta:

public function type () {
  return $this->belongsTo('App\Models\tipo', 'tipoestabelecimento_idTipoEstabelecimento');

  }