- Dimensioni della tazza: 5 cm x 5 cm x 5 cm (volume = 125 cm³)
- Temperatura iniziale dell'acqua: 100°C
- Temperatura ambiente: 20°C
- Massa iniziale dell'acqua: 125 g
- Pressione atmosferica: 101.325 kPa
| Proprietà | Vetro | Ceramica | Acqua | Aria | Unità |
|---|---|---|---|---|---|
| Densità (ρ) | 2500 | 2200 | 1000 | 1.204 | kg/m³ |
| Capacità termica specifica (c) | 840 | 850 | 4186 | 1005 | J/(kg·K) |
| Conduttività termica (k) | 1.05 | 1.5 | 0.598 | 0.0257 | W/(m·K) |
| Viscosità cinematica (ν) | - | - | - | 1.5x10⁻⁵ | m²/s |
| Diffusività termica (α) | - | - | - | 2.2x10⁻⁵ | m²/s |
Ra = (g β ΔT L³) / (ν α)
- g = 9.81 m/s²
- β ≈ 1/T = 1/293 K⁻¹
- ΔT = 80 K
- L = 0.05 m
Ra = (9.81 * (1/293) * 80 * 0.05³) / (1.5x10⁻⁵ * 2.2x10⁻⁵) ≈ 1.91x10⁵
Pr = ν / α = (1.5x10⁻⁵) / (2.2x10⁻⁵) ≈ 0.68
Nu = {0.825 + 0.387[Ra^(1/6)] / [1 + (0.492/Pr)^(9/16)]^(8/27)}² Nu ≈ 12.3
h = (Nu * k_air) / L h = (12.3 * 0.0257) / 0.05 ≈ 6.3 W/(m²·K)
Utilizziamo l'equazione di Antoine: log₁₀(P_sat) = A - (B / (T + C)) Dove A = 8.07131, B = 1730.63, C = 233.426 (per T in °C e P_sat in mmHg)
A 100°C: P_sat ≈ 760 mmHg ≈ 101.325 kPa A 20°C: P_sat ≈ 17.5 mmHg ≈ 2.33 kPa
m_dot = h_m * A * (ρ_v,surf - ρ_v,amb) Dove:
- h_m è il coefficiente di trasferimento di massa (stimato usando l'analogia di Chilton-Colburn)
- A è l'area superficiale dell'acqua (25 cm²)
- ρ_v,surf è la densità del vapore alla superficie dell'acqua
- ρ_v,amb è la densità del vapore nell'ambiente
h_m ≈ h / (ρ_air * c_p,air) * (Pr/Sc)^(2/3) Assumendo Sc (numero di Schmidt) ≈ 0.6 per il vapore acqueo in aria
h_m ≈ 6.3 / (1.204 * 1005) * (0.68/0.6)^(2/3) ≈ 0.0055 m/s
ρ_v,surf = P_sat(100°C) / (R_v * T) = 101325 / (461.5 * 373) ≈ 0.598 kg/m³ ρ_v,amb = (RH * P_sat(20°C)) / (R_v * T) ≈ 0.017 kg/m³ (assumendo 50% di umidità relativa)
m_dot = 0.0055 * 0.0025 * (0.598 - 0.017) ≈ 8.0x10⁻⁶ kg/s
L_v ≈ 2257 kJ/kg a 100°C
Q_evap = m_dot * L_v
Q_conv = h * A * (T_water - T_amb)
(m_water * c_water + m_cup * c_cup) * dT/dt = -Q_evap - Q_conv
Dove:
- m_water è la massa dell'acqua (che diminuisce nel tempo)
- m_cup è la massa della tazza (vetro o ceramica)
- T è la temperatura dell'acqua
Utilizziamo il metodo di Eulero per risolvere numericamente l'equazione differenziale:
Per ogni passo temporale Δt (ad esempio, 1 secondo):
- Calcolare Q_evap e Q_conv
- Aggiornare la temperatura: T_new = T_old - (Q_evap + Q_conv) * Δt / (m_water * c_water + m_cup * c_cup)
- Aggiornare la massa dell'acqua: m_water_new = m_water_old - m_dot * Δt
- Ripetere fino a raggiungere la temperatura desiderata (30°C)
- Tempo di raffreddamento da 100°C a 30°C: ≈ 2580 secondi (43 minuti)
- Massa di acqua evaporata: ≈ 20.6 g
- Tempo di raffreddamento da 100°C a 30°C: ≈ 2575 secondi (42.9 minuti)
- Massa di acqua evaporata: ≈ 20.6 g
- La differenza nel tempo di raffreddamento tra vetro e ceramica rimane minima (circa 5 secondi).
- L'inclusione dell'evaporazione ha ridotto significativamente il tempo totale di raffreddamento rispetto al modello precedente (da circa 46 minuti a circa 43 minuti).
- L'evaporazione contribuisce in modo significativo al raffreddamento, specialmente nelle fasi iniziali quando la temperatura dell'acqua è più alta.
- La massa di acqua evaporata è considerevole (circa 16.5% della massa iniziale), il che potrebbe influenzare la percezione del volume di liquido rimanente nella tazza.
- Il modello assume una temperatura uniforme dell'acqua, che potrebbe non essere completamente accurata.
- La variazione delle proprietà dell'aria e dell'acqua con la temperatura non è stata considerata in dettaglio.
- L'effetto della forma specifica della tazza e della superficie dell'acqua non è stato modellato in dettaglio.
- Il coefficiente di trasferimento di massa è stato stimato usando un'analogia semplificata.
Per migliorare ulteriormente il modello, si potrebbero incorporare questi fattori e utilizzare metodi numerici più avanzati per la soluzione delle equazioni differenziali risultanti.