somatária de 1 à n = somatoria(n)
Para n par
para n = 6 temos:
somatoria(6) = 1 + 2 + 3 + 5 + 6
2 + 5 = 7
+-----------+
| |
v v
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6
^ ^ ^ ^
| | | |
| +---+ |
| 3 + 4 = 7 |
| |
+-------------------+
1 + 6 = 7
1 + 6 = 7
2 + 5 = 7
3 + 4 = 7
se n + 1 = 7, então
(1 + 6) + (2 + 5) + (3 + 4) =>
(n + 1) + (n + 1) + (n + 1) =>
3*(n + 1)
porém n/2 = 3, então:
3*(n + 1) = (n/2)*(n+1), que reescrevendo fica:
n * (n + 1)
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2
logo,
somatoria(n) = n * (n + 1), para todo n par
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2
Para n ímpar
Seja n = 5.
somatoria(5) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5
somatoria(5) = 1 + 5 + 2 + 4 + 3
somatoria(5) = (1 + 5) + (2 + 4) + 3
somatoria(5) = (6) + (6) + 3
somatoria(5) = (n + 1) + (n + 1) + 3
somatoria(5) = (n + 1) + (n + 1) + (n + 1)/2
somatoria(5) = 2*(n + 1) + (n + 1)/2
como (n - 1) / 2 = 2, então
(n - 1)(n + 1) + (n + 1)
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2 2
colocando (n + 1)/2 em evidência, temos:
somatoria(5) = (n + 1)*(n - 1 + 1) => (n + 1)*n
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2 2
que reescrevendo fica:
n * (n + 1)
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2
Logo,
somatoria(n) = n * (n + 1), para todo n qualquer número natural.
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2