数值分析实验报告模板

report_template.tex

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\title{数值分析实验报告模板}
\author{张开水}

\begin{document}
\maketitle

\section{实验题目}

\subsection{1-3}

编程观察无穷级数

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$$

的求和计算.

\begin{description}
  \item[（1）] 采用IEEE单精度浮点数，观察当n为何值时求和结果不再变化，将它与理论分析的结论进行比较.
  \item[（2）] 用IEEE双精度浮点数计算（1）中前n项的和，评估IEEE单精度浮点数计算结果的误差.
  \item[（3）] 如果采用IEEE双精度浮点数，估计当n为何值时求和结果不再变化，这在当前做实验的计算机上大概需要多长的计算时间？
\end{description}

\newpage
\subsection{2-2}
编程实现阻尼牛顿法.要求：\textcircled{1}设定阻尼因子的初始值$\lambda_{0}$及解的误差阈值$\epsilon$；\textcircled{2}阻尼因子$\lambda$用逐次折半法更新；\textcircled{3}打印每个迭代步的最终$\lambda$值及初始解.用所编程序求解：

\begin{description}
  \item[（1）] $x^3-x-1=0$，取$x_{0}=0.6$.
  \item[（2）] $-x^3+5x=0$，取$x_{0}=1.2$.
\end{description}

\newpage
\subsection{3-6}
编程实现Hilbert矩阵$\boldsymbol{H_{n}}$，以及n维向量$\boldsymbol{b}=\boldsymbol{H_{n}x}$，其中，$\boldsymbol{x}$为所有分量都是1的向量. 用Cholesky分解算法求解方程$\boldsymbol{H_{n}x} = \boldsymbol{b}$，得到近似解$\boldsymbol{\hat{x}}$，计算残差$\boldsymbol{r}=\boldsymbol{b} - \boldsymbol{H_{n}\hat{x}}$和误差$\Delta \boldsymbol{x} = \boldsymbol{\hat{x}} - \boldsymbol{x}$的$\infty$-范数.

\begin{description}
  \item[（1）] 设n=10，计算${|| \boldsymbol{r} ||}_{\infty}$、${|| \Delta \boldsymbol{x} ||}_{\infty}$.
  \item[（2）] 在右端项上施加$10^{-7}$的扰动然后解方程组，观察残差和误差的变化情况.
  \item[（3）] 改变n的值为8和12，求解相应的方程，观察${|| \boldsymbol{r} ||}_{\infty}$、${|| \Delta \boldsymbol{x} ||}_{\infty}$的变化情况. 通过实验说明了什么问题？
\end{description}

注：Hilbert矩阵$\boldsymbol{H_{n}}$的定义如下：

\begin{equation}
\label{hilbert}
\boldsymbol{H_n}
=\begin{bmatrix}
1  &  \frac{1}{2}  & \cdots\ & \frac{1}{n}\\
\frac{1}{2}  &  \frac{1}{3}  & \cdots\ & \frac{1}{n+1}\\
 \vdots   & \vdots & \ddots  & \vdots  \\
 \frac{1}{n} & \frac{1}{n+1} & \cdots\ & \frac{1}{2n-1}\\
\end{bmatrix}
\end{equation}

\newpage
\subsection{4-1}
考虑10阶Hilbert矩阵（见\ref{hilbert}）作为系数阵的方程组

$$\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{b}$$

其中，$\boldsymbol{A}$的元素$a_{ij}=\frac{1}{i+j-1}$，$\boldsymbol{b}={[1, 1/2, ..., 1/10]}^T$.取初始解$\boldsymbol{x}^{(0)}=\boldsymbol{0}$，编写程序用Jacobi与SOR迭代法求解改方程组，将${||\boldsymbol{x}^{(k+1)} - \boldsymbol{x}^{(k)} ||}_{\infty} < 10^{-4}$作为终止迭代的判据.

\begin{description}
  \item[（1）] 分别用Jacobi与SOR（$\omega = 1.25$）迭代法求解，观察收敛情况.
  \item[（2）] 改变$\omega$的值，试验SOR迭代法的效果，考察解的准确度.
\end{description}

\newpage
\subsection{5-1}
用幂法求下列矩阵按模最大的特征值$\lambda_1$及其对应的特征向量$\boldsymbol{x_1}$，使$|(\lambda_1)_{k+1} - (\lambda_1)_{k}| < 10^{-5}$.

\begin{description}
  \item[（1）]
$
\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}
5 & -4 & 1\\
-4 & 6 & -1\\
1 & -4 & 7\\
\end{bmatrix}
$
  \item[（2）]
$
\boldsymbol{B}=\begin{bmatrix}
25 & -41 & 10 & -6\\
-41 & 68 & -17 & 10\\
10 & -17 & 5 & -3\\
-6 & 10 & -3 & 2\\
\end{bmatrix}
$
\end{description}

\newpage
\subsection{6-3}
对物理实验中所得下列数据\\

\begin{tabular}{|c||c|c|c|c|c|c|c|c|}
  \hline
  $t_i$ & 1 & 1.5 & 2 & 2.5 & 3.0 & 3.5 & 4 & 4.5 \\\hline
  $y_i$ & 33.40 & 79.50 & 122.65 & 159.05 & 189.15 & 214.15 & 238.65 & 252.2 \\\hline
  \hline
  $t_i$ & 5 & 5.5 & 6 & 6.5 & 7 & 7.5 & 8 &  \\\hline
  $y_i$ & 267.55 & 280.50 & 296.65 & 301.65 & 310.40 & 318.15 & 325.15 &  \\\hline
\end{tabular}

\begin{description}
  \item[（1）] 用公式$y=a+bt+ct^2$做直线拟合.
  \item[（2）] 用指数函数$y=ae^{bt}$做曲线拟合.
  \item[（3）] 比较上述两条拟合曲线，哪条更好？
\end{description}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
    \begin{axis}[
    xlabel = $t_i$,
    ylabel = {$y_i$},
    xmin = 0, xmax = 10,
    only marks
    ]
    \addplot table [y=yi, x=ti] {data.dat};
    \end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\newpage
\section{解题思路}

\section{实验结果和结论}

\section{实验心得体会}

\section{源代码}
\lstinputlisting[language=c++]{1-3.cpp}

\begin{thebibliography}{9}
\bibitem{zhm}
  zhm,
  \emph{zhm's report template},
  2017.
\end{thebibliography}

\end{document}