勝利の女神:NIKKEの初心者用お手入れキットはR等級とSR等級どちらに使うべきか

calc.py

def expected_trials_to_reach(p_list, cutoff):
    """
    p_list : list of length 15 with p_0..p_14 (success probabilities)
    cutoff : int, max number of trials per state before forced move to k+1
    """
    n = 15  # states 0..14, plus absorbing state 15

    def A_k(p):
        q = 1 - p
        if p == 0.0:
            return float(cutoff)
        s = 0.0
        for t in range(1, cutoff + 1):
            s += t * (q ** (t - 1)) * p
        return s + cutoff * (q ** cutoff)

    def s_k(p):
        # success at least once within cutoff trials
        return 1 - (1 - p) ** cutoff

    E = []
    for target in range(0, n + 1):
        F = [0.0] * (n + 1)
        for k in range(target - 1, -1, -1):
            p = p_list[k]
            Ak = A_k(p)
            sk = s_k(p)
            m = (k // 5) * 5 + 5
            if m > n:
                m = n
            F[k] = Ak + sk * F[m] + (1.0 - sk) * F[k + 1]
        E.append(F[0])
    return E
    
# 例：p_k を適当に設定して実行
r = [0.176, 0.208, 0.240, 0.272, 0.400, 0.160, 0.192, 0.224, 0.272, 0.400, 0.144, 0.176, 0.224, 0.272, 0.400]
sr = [0.036, 0.059, 0.078, 0.113, 0.150, 0.022, 0.033, 0.049, 0.076, 0.125, 0.012, 0.022, 0.031, 0.047, 0.100]
r_values = expected_trials_to_reach(r, 5)
sr_values = expected_trials_to_reach(sr, 15)

print(f"{'i':>2} | {'r':>10} | {'sr':>10}")
print("-" * 27)
for i, (rv, srv) in enumerate(zip(r_values, sr_values)):
    print(f"{i:2} | {rv:10.6f} | {srv:10.6f}")

calc2.py

def expected_stage_over_time(p_list, cutoff, max_k):
    """
    p_list: list of length 15 with p_0..p_14 (success probabilities)
    cutoff: max failures before forced move to i+1
    max_k: compute expected stage from 0 to max_k trials
    Returns: list of expected stages [E0, E1, ..., E_max_k]
    """
    n = 15
    assert len(p_list) == n

    # 初期分布
    prob = [ [0.0]*cutoff for _ in range(n) ] + [ [0.0] ]  # last for i=15
    prob[0][0] = 1.0

    expected_stages = []

    for step in range(max_k + 1):
        # 現在の分布から期待到達段階を計算
        exp_stage = 0.0
        for i in range(n):
            exp_stage += i * sum(prob[i])
        exp_stage += n * prob[n][0]
        expected_stages.append(exp_stage)

        # 次の試行の分布に更新
        new_prob = [ [0.0]*cutoff for _ in range(n) ] + [ [0.0] ]
        for i in range(n):
            for r in range(cutoff):
                mass = prob[i][r]
                if mass == 0.0:
                    continue
                p = p_list[i]
                # 成功時
                m = (i//5)*5 + 5
                if m > n: m = n
                new_prob[m][0 if m < n else 0] += mass * p
                # 失敗時
                if r + 1 < cutoff:
                    new_prob[i][r+1] += mass * (1.0 - p)
                else:
                    ni = i + 1
                    if ni > n: ni = n
                    new_prob[ni][0 if ni < n else 0] += mass * (1.0 - p)
        # 吸収状態はそのまま
        new_prob[n][0] += prob[n][0]

        prob = new_prob

    return expected_stages
    
r = [0.176, 0.208, 0.240, 0.272, 0.400, 0.160, 0.192, 0.224, 0.272, 0.400, 0.144, 0.176, 0.224, 0.272, 0.400]
sr = [0.036, 0.059, 0.078, 0.113, 0.150, 0.022, 0.033, 0.049, 0.076, 0.125, 0.012, 0.022, 0.031, 0.047, 0.100]

k = 20

E_over_time = expected_stage_over_time(r, 5, k)
E_over_time_s = expected_stage_over_time(sr, 15, k)

print(f"{'試行':>4} | {'r':>10} | {'sr':>10}")
print("-" * 28)
for step, (E_r, E_s) in enumerate(zip(E_over_time, E_over_time_s)):
    print(f"{step:4d} | {E_r:10.4f} | {E_s:10.4f}")

output.txt

 i |          r |         sr
---------------------------
 0 |   0.000000 |   0.000000
 1 |   3.523461 |  11.750749
 2 |   4.780650 |  17.602167
 3 |   5.148821 |  19.694427
 4 |   5.236604 |  20.200602
 5 |   5.250755 |  20.269630
 6 |   8.886930 |  33.165994
 7 |  10.314961 |  41.750477
 8 |  10.777021 |  46.428024
 9 |  10.895555 |  48.290181
10 |  10.914662 |  48.721111
11 |  14.667522 |  62.524333
12 |  16.286863 |  73.284560
13 |  16.846943 |  80.542391
14 |  16.990622 |  84.619838
15 |  17.013783 |  86.057203

勝利の女神:NIKKEにおいて、SR等級コレクションを初心者用お手入れキットで5段階まで強化するよりR等級コレクションを初心者用お手入れキットで15段階まで強化してからSR等級に交換した方がお得というのは本当か。

コレクションの1段階強化に必要な経験値

等級	経験値
R	1000
SR	2000

お手入れキット毎の経験値

種別	経験値
初心者用	200
中級者用	500
上級者用	1000

大成功を外し続けた場合、1段階進むのに必要なお手入れ回数はR等級は初心者用5(=1000/200)回で、SR等級は初心者用15(=3000/200)回で進む。
15段階のR等級をSR等級に交換すると5段階になる。

段階$i$において$1$回の試行で当りが出る確率は$ p_i (i=0 \sim 14)$である。当たりが出たら次の$5$の倍数の段階に進み、外れが出たら現在の段階にとどまる。その段階に到達してから$k$回外れが出た場合は次の段階$i+1$に進む。
この試行を繰り返して段階$0$から$i$に到達するまでにかかる試行回数の期待値$E_i$を$i=15$まで求めたい。

以上の問題を(頭を使いたくないので)ChatGPT(GPT-5 Thinking Mini)に投げるとcalc.pyを得る。頭を使いたくないので解法のチェックはしていない(カス)。

calc.pyを実行するとoutput.txtを得る。
output.txtを見ると
$\mathrm{E}[\mathrm{R}(15)]=17.01$
$\mathrm{E}[\mathrm{SR}(5)]=20.27$
と分かる。

初心者用お手入れキットだけを使う場合、初めからSR等級を持たせるよりR等級を15段階にしてからSR等級に交換した方が約3.3回お手入れ回数が少なく済む。ニケ1機当たり初心者用お手入れキット33個分の節約になる。
中/上級者用お手入れキットは貴重なので全部SR等級5段階以降に使おう。

おまけ：calc2.pyは試行回数毎の段階の期待値を計算するプログラム。当然output.txtの逆引きよりは小さい値になる。