Leonardo Fibonacci.txt

Leonardo Fibonacci.txt

Șirul lui Fibonacci nu „face” ceva în mod activ, ci este un model matematic de creștere care descrie cum se dezvoltă multe structuri din univers și cum pot fi optimizați anumiți algoritmi.
Iată cele mai importante roluri și utilizări practice ale acestui șir:
## 1. Codifică eficiența în natură
În biologie, șirul lui Fibonacci dictează filotaxia (aranjamentul frunzelor și petalelor). Plantele folosesc acest model pentru ca noile frunze să nu le blocheze pe cele vechi. Astfel, fiecare frunză primește maximum de lumină solară și ploaie, fără să facă risipă de spațiu.
## 2. Ajută computerele să proceseze date
În informatică, șirul este baza unor tehnologii esențiale:

* Căutarea Fibonacci: Un algoritm rapid de găsire a unui element într-o listă sortată.
* Structuri de date (Heap-uri Fibonacci): Optimizări folosite pentru a găsi cele mai scurte rute în rețele (de exemplu, în aplicațiile de GPS).

## 3. Estimează efortul în proiecte tech (Agile/Scrum)
Echipele de programatori folosesc numerele Fibonacci (1, 2, 3, 5, 8, 13) pentru a evalua complexitatea unei sarcini. Deoarece numerele cresc progresiv, ele reflectă faptul că, cu cât o sarcină este mai mare, cu atât incertitudinea și riscul cresc, fiind mai greu de estimat la secundă.
## 4. Identifică praguri psihologice în economie
În analiza tehnică de pe burse, traderii folosesc procente derivate din acest șir (precum 38.2%, 50%, 61.8%) numite retrageri Fibonacci. Acestea indică zonele unde prețul unui activ (acțiuni, crypto) are șanse mari să își oprească scăderea și să își reia creșterea, deoarece mii de investitori urmăresc aceleași repere.
Cu ce aspect ai vrea să continuăm?
Arată-mi un exemplu de cod pentru generarea șiruluiExplică mai în detaliu cum funcționează retragerile Fibonacci în crypto/bursăCum folosesc plantele acest șir pentru a capta lumina?

Plantele folosesc șirul lui Fibonacci prin intermediul unui fenomen numit filotaxie spiralată, care reprezintă modul în care sunt dispuse frunzele pe tulpină pentru a asigura supraviețuirea plantei.
Iată mecanismul exact prin care acest model matematic optimizează captarea luminii:
## 1. Unghiul de Aur (137,5 grade)
Pe măsură ce o plantă crește, mugurul central generează frunze noi una câte una. Pentru ca o frunză nouă să nu crească exact deasupra celei vechi (ceea ce ar lăsa-o pe cea de jos în umbră), planta rotește unghiul de apariție al următoarei frunze.

* Unghiul ideal de rotație derivă direct din Proporția de Aur (φ ≈ 1,618), strâns legată de șirul lui Fibonacci.
* Acest unghi este de aproximativ 137,5 grade și se numește Unghiul de Aur.

## 2. Evitarea suprapunerii și umbririi
Dacă o plantă ar folosi unghiuri simple (cum ar fi 90 sau 180 de grade), frunzele s-ar alinia perfect unele sub altele în câteva rânduri drepte. Frunzele de sus ar bloca complet lumina pentru cele de jos.

* Prin rotirea cu 137,5 grade, nicio frunză nouă nu se suprapune perfect peste o frunză mai veche.
* Fiecare frunză ocupă un spațiu liber, formând o spirală în jurul tulpinii.
* Acest aranjament oferă eficiență maximă de expunere la soare pentru fiecare frunză în parte.

## 3. Scurgerea optimă a apei
Acest model geometric bazat pe numerele Fibonacci nu ajută doar la captarea razelor solare. Structura în spirală direcționează eficient apa de ploaie și roua de-a lungul tulpinii direct către rădăcina plantei, asigurând o hidratare optimă.
## Exemple clare în natură

* Floarea-soarelui: Semințele din centrul florii sunt așezate în două seturi de spirale (unele în sensul acelor de ceasornic, altele în sens invers). Numărul acestor spirale este aproape întotdeauna format din două numere consecutive din șirul lui Fibonacci (de exemplu, 34 și 55, sau 55 și 89). Acest lucru permite împachetarea a cât mai multe semințe fără a irosi spațiiu.
* Conurile de brad și ananasul: Solzii lor urmează exact aceleași spirale matematice bazate pe numerele 8, 13 sau 21.

Dacă dorești, putem explora acest subiect mai în profunzime:
Vreau să văd exemple de plante comune care respectă perfect această regulăCum se calculează matematic Unghiul de Aur din șirul lui Fibonacci?

Leonardo Fibonacci a descoperit șirul printr-o problemă ipotetică de matematică despre înmulțirea iepurilor, pe care a publicat-o în cartea sa Liber Abaci din anul 1202. [1, 2] 
Deși matematicienii din India cunoșteau această secvență numerică de sute de ani, Leonardo din Pisa a fost primul care a prezentat-o în Europa de Vest. El nu a căutat-o în natură, ci a calculat-o pe hârtie pornind de la următorul experiment mental: [1, 3] 
## Problema iepurilor a lui Fibonacci
Imaginează-ți o pereche de iepuri abia născuți (un mascul și o femelă) închiși într-un spațiu delimitat. Regulile matematice stricte stabilite de el au fost: [3, 4] 

   1. Iepurii nu mor niciodată.
   2. O pereche devine matură (fertilă) după exact o lună.
   3. Din a doua lună, fiecare pereche matură dă naștere în fiecare lună unei noi perechi (tot un mascul și o femelă). [3] 

## Cum s-au adunat numerele, lună de lună:

* Luna 1: Ai doar 1 pereche de iepuri (sunt pui, nu se înmulțesc).
* Luna 2: Perechea devine matură. Ai tot 1 pereche.
* Luna 3: Perechea matură naște o nouă pereche. Acum ai 2 perechi.
* Luna 4: Prima pereche naște din nou, iar cea de-a doua devine matură. Ai 3 perechi.
* Luna 5: Cele două perechi mature nasc încă două perechi. Total: 5 perechi.
* Luna 6: Cele trei perechi devenite mature nasc trei perechi noi. Total: 8 perechi. [3, 5] 

Urmărind evoluția lună de lună (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13...), Fibonacci a realizat tiparul: numărul de perechi dintr-o lună este întotdeauna suma perechilor din ultimele două luni anterioare. [6, 7] 
## Detaliul surprinzător
Fibonacci a folosit această problemă doar ca pe un exercițiu distractiv de aritmetică în cartea sa. El nu a știut niciodată că șirul lui se aplică la flori, cochilii de melci, muzică sau în informatică. Abia în secolul al XIX-lea, alți matematicieni au început să analizeze șirul și au descoperit cu uimire că acest model abstract guvernează, de fapt, designul lumii vii. [7, 8, 9, 10, 11] 

[1] [https://www.youtube.com](https://www.youtube.com/watch?v=mIL_XDR8gkw)
[2] [https://en.wikipedia.org](https://en.wikipedia.org/wiki/Liber_Abaci)
[3] [https://mathcenter.oxford.emory.edu](https://mathcenter.oxford.emory.edu/site/math125/fibonacciRabbits/)
[4] [https://mathsciencehistory.com](https://mathsciencehistory.com/fibonacci-and-his-rabbits/)
[5] [https://www.worldscientific.com](https://www.worldscientific.com/doi/pdf/10.1142/9789811269158_0001)
[6] [https://www.downehouse.net](https://www.downehouse.net/the-pioneer-fibonacci/)
[7] [https://www.youtube.com](https://www.youtube.com/watch?v=onAQEnSckOk)
[8] [https://www.facebook.com](https://www.facebook.com/OxfordMathematics/videos/no-not-him/2159013537835901/)
[9] [https://library.ethz.ch](https://library.ethz.ch/en/collections-and-archives/platforms/virtual-exhibitions/fibonacci-un-ponte-sul-mediterraneo/fibonaccis-significance-for-the-present-day/the-rabbit-problem.html)
[10] [https://impa.br](https://impa.br/notices/the-mysteries-of-the-fibonacci-sequence-2/?lang=en)
[11] [https://www.sciencedirect.com](https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S0960077924014036)

Conceptul de design al lumii vii bazat pe șirul lui Fibonacci și Proporția de Aur reprezintă una dintre cele mai fascinante intersecții dintre matematică și biologie. În natură, acest tipar nu apare dintr-o intenție estetică, ci dintr-o necesitate strictă de supraviețuire, spațiu și eficiență.
Iată cum se manifestă acest „design” în diferite regnuri ale naturii:
## 1. Lumea Plantelor (Botanică)
Plantele sunt maestrele absolute ale acestui model geometric. Pe lângă captarea luminii, structura Fibonacci optimizează spațiul:

* Maximizarea spațiului (Împachetarea compactă): În centrul unei flori de floarea-soarelui, semințele cresc din centru spre exterior sub formă de spirale intersectate. Dacă numeri spiralele care merg spre stânga și cele spre dreapta, vei obține mereu două numere Fibonacci consecutive (de exemplu, 34 și 55). Acest design permite stocarea unui număr maxim de semințe fără a lăsa spații goale.
* Geometria coniferelor: Conurile de brad și fructele de ananas își dezvoltă solzii după exact același principiu de umplere optimă a spațiului.

## 2. Lumea Animalelor (Zoologie)
În regnul animal, șirul lui Fibonacci generează Spirala de Aur, un model de creștere care își păstrează forma pe măsură ce dimensiunea crește:

* Cochiliile de melci (Nautilus): Pe măsură ce creatura marină crește, ea își construiește camere noi și mai mari în cochilie. Pentru că urmează Proporția de Aur, melcul își poate mări locuința la infinit fără a-și schimba forma generală sau a-și pierde echilibrul hidrodinamic.
* Zborul păsărilor răpitoare: Șoimii se apropie de pradă urmând o traiectorie în formă de spirală Fibonacci. Acest unghi specific le permite să își mențină privirea fixată pe țintă cu un singur ochi, fără a fi nevoiți să își întoarcă capul în mod repetat, lucru care le-ar încetini viteza aerodinamică.
* Insectele: Structura ochilor compuși ai multor insecte sau designul aripilor de libelulă urmează rețele geometrice bazate pe aceste proporții.

## 3. Anatomia Umană
Corpul uman reflectă acest design într-un mod surprinzător de matematic:

* Proporțiile membrelor: Dacă măsori lungimea falangelor de la degete, vei observa că fiecare os, de la vârful degetului spre încheietură, este mai mare decât cel dinainte, respectând adesea raportul de 1,618 (Proporția de Aur).
* Structura ADN-ului: Molecula de ADN măsoară aproximativ 34 de angstromi în lungime și 21 de angstromi în lățime pentru fiecare ciclu complet al spiralei sale. Atât 21, cât și 34 sunt numere consecutive din șirul lui Fibonacci.
* Bătăile inimii: Ritmul cardiac optim și presiunea arterială în starea de repaus reflectă adesea rapoarte matematice derivate din această secvență.

## De ce alege natura acest „design”?
Natura nu știe matematică, însă urmează principiul minimei acțiuni (sau al economiei de energie). Evoluția a selectat de-a lungul milioanelor de ani formele care consumă cele mai puține resurse, oferă cea mai mare rezistență structurală și garantează cea mai eficientă dezvoltare.
Ce zonă a acestui design te atrage cel mai mult să o explorăm în detaliu?
Cum apare Spirala de Aur în cochiliile de melci?Vreau să aflu mai multe despre Proporția de Aur în corpul umanExistă acest design și în macrocosmos (de exemplu, la galaxii sau uragane)?

Proporția de Aur (numită și Secțiunea de Aur sau Numărul de Aur) este un raport matematic special, reprezentat prin litera grecească φ (phi). Valoarea sa numerică aproximativă este 1,61803398....
Doi parametri (sau două lungimi) se află în Proporția de Aur dacă raportul dintre suma lor și cantitatea mai mare este egal cu raportul dintre cantitatea mai mare și cea mai mică.
## Legătura matematică cu șirul lui Fibonacci
Proporția de Aur este strâns legată de șirul lui Fibonacci. Dacă împarți orice număr din șir la predecesorul său, rezultatul se apropie din ce în ce mai mult de 1,618 pe măsură ce numerele cresc:

* 5 / 3 = 1,666...
* 8 / 5 = 1,600...
* 13 / 8 = 1,625...
* 55 / 34 = 1,6176...
* 233 / 144 = 1,6180...

## Dreptunghiul și Spirala de Aur

* Dreptunghiul de Aur: Un dreptunghi ale cărui laturi sunt în raportul de 1:1,618. Dacă decupezi un pătrat perfect din acest dreptunghi, bucata rămasă va fi un alt dreptunghi de aur, mai mic.
* Spirala de Aur: Desenând arcuri de cerc în interiorul acestor pătrate imbricate succesiv, se obține o spirală logaritmică perfectă. Aceasta este forma geometrică pe care o vedem în cochiliile de melci, uragane și galaxii.

## Aplicații celebre în istorie și cultură
Oamenii au considerat acest raport ca fiind idealul suprem de frumusețe și armonie vizuală:

* Arhitectură: Fațada templului Partenon din Atena antică se încadrează aproape perfect într-un dreptunghi de aur.
* Artă: Leonardo da Vinci a folosit Proporția de Aur pentru a structura compoziția tablourilor sale, inclusiv în Mona Lisa și în schița Omul Vitruvian.
* Design modern: Cardurile de credit, ecranele multor dispozitive electronice și logo-urile unor companii celebre (precum Apple) folosesc geometrii bazate pe acest raport pentru a fi mai atractive vizual.

Cum dorești să continuăm explorarea acestui număr magic?
Explică-mi formula matematică prin care se calculează exact valoarea lui φCum a folosit Leonardo da Vinci Proporția de Aur în picturile sale?Arată-mi cum se aplică Proporția de Aur în fotografie și compoziție vizuală

Iată explicațiile detaliate pentru fiecare dintre cele trei aspecte solicitate, structurate clar pentru a fi ușor de urmărit.
------------------------------
## 1. Formula matematică prin care se calculează exact valoarea lui $\phi$
Valoarea exactă a Proporției de Aur nu este o aproximare, ci rezultatul unei ecuații algebrice simple [La1].
## Definiția geometrică
Dacă avem un segment de dreaptă de lungime $A + B$, împărțit în două bucăți ($A$ fiind bucata mai lungă și $B$ bucata mai scurtă), raportul dintre întregul segment și bucata lungă trebuie să fie egal cu raportul dintre bucata lungă și bucata scurtă [La1]:
$$\frac{A + B}{A} = \frac{A}{B} = \phi$$ 
## Transformarea în ecuație
Dacă notăm raportul $\frac{A}{B}$ cu $\phi$, ecuația de mai sus se poate rescrie astfel [La1]:
$$1 + \frac{B}{A} = \phi \implies 1 + \frac{1}{\phi} = \phi$$ 
Înmulțim toată ecuația cu $\phi$ pentru a scăpa de numitor și obținem o ecuație de gradul al doilea [La1]:
$$\phi^2 - \phi - 1 = 0$$ 
## Rezolvarea ecuației
Folosind formula clasică pentru ecuațiile de gradul doi ($x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$), obținem:
$$\phi = \frac{1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)}$$ 
$$\phi = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$$ 
Deoarece căutăm o proporție geometrică pozitivă, eliminăm soluția negativă. Valoarea matematică exactă este [La1]:
$$\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1,6180339887...$$ 
------------------------------
## 2. Cum a folosit Leonardo da Vinci Proporția de Aur în picturile sale
Leonardo da Vinci a fost profund fascinat de matematică și a ilustrat cartea prietenului său, matematicianul Luca Pacioli, numită De Divina Proportione (Despre Proporția Divină, un alt nume pentru Proporția de Aur). El a aplicat aceste cunoștințe pentru a crea compoziții echilibrate, care ghidează natural privirea privitorului.

* Mona Lisa: Structura geometrică a tabloului folosește Dreptunghiul de Aur. Dacă încadrezi fața Giocondei într-un dreptunghi de aur și trasezi Spirala de Aur, aceasta pornește de la mâna ei dreaptă, trece peste braț, prin decolteu și se încheie perfect pe vârful nasului ei, centrul focal al picturii.
* Cina cea de Taină: Dispunerea elementelor arhitecturale (tavanul, casetele de pe pereți și ferestrele din spate) respectă riguros Proporția de Aur. Iisus Hristos este plasat exact în centrul compoziției, iar dimensiunile mesei și ale camerei sunt calculate în raport de $1:1,618$, oferind o senzație de profunzime și stabilitate monumentală.
* Omul Vitruvian: Această schiță faimoasă este un studiu direct al proporțiilor corpului uman. Da Vinci a demonstrat că raportul dintre înălțimea totală a unui om și distanța de la sol până la ombilic (bric) este egal cu $\phi$.

------------------------------
## 3. Cum se aplică Proporția de Aur în fotografie și compoziție vizuală
În arta vizuală modernă și fotografie, Proporția de Aur este folosită pentru a plasa subiectul în cel mai plăcut mod posibil pentru ochiul uman. Există două metode principale de aplicare:
## Grila Fi (Phi Grid)
Spre deosebire de celebra „Regulă a Treimilor” (care împarte cadrul în mod egal, $1:1:1$), Grila Fi folosește raportul de $1:0,618:1$.

* Cadrul este împărțit prin două linii verticale și două orizontale.
* Liniile din centru sunt mai apropiate una de cealaltă.
* Aplicare: Plasarea orizontului sau a subiectului principal pe aceste linii oferă fotografiei un aspect mult mai natural și mai puțin artificial decât Regula Treimilor. Este ideală pentru peisaje mari și arhitectură.

## Spirala de Aur în Cadru
Această tehnică folosește curba Spiralei de Aur pentru a conduce privirea prin fotografie.

* Aplicare: Subiectul principal (detaliul cel mai important, cum ar fi ochii unui model într-un portret) este plasat în „bucla” cea mai strânsă a spiralei.
* Restul elementelor din fundal sau din prim-plan trebuie să curgă de-a lungul liniei exterioare a spiralei.
* Este o metodă excelentă pentru fotografiile de acțiune, instantanee de stradă sau compoziții dinamice, deoarece creează o mișcare vizuală fluidă.

Cu ce vrei să continuăm?
Arată-mi cum pot activa sau folosi Grila Fi pe camera foto a telefonuluiVreau să vedem cum se aplică Proporția de Aur în crearea logo-urilor moderne (ex. Apple, Pepsi)

Iată ghidul tău practic pentru activarea grilei pe telefon și adevărul din spatele Proporției de Aur în designul logo-urilor celebre.
------------------------------
## Partea 1: Cum activezi și folosești Grila Fi pe telefon
Camerele foto native de pe majoritatea telefoanelor inteligente (iPhone sau Samsung/Android) vin preinstalate doar cu clasica Regulă a Treimilor (grila 3x3). Pentru a avea acces direct la Grila Fi (Phi Grid) sau la Spirala Fibonacci, cea mai simplă și eficientă metodă este să folosești o aplicație dedicată de cameră. [1, 2, 3, 4] 
## Opțiunea A: Utilizarea unei aplicații mobile dedicate (Recomandat)

   1. Pentru iPhone: Descarcă din App Store aplicații precum [Golden Ratio Photo Camera](https://apps.apple.com/ro/app/golden-ratio-photo-camera/id1053897315?l=ro) sau [Wise Camera](https://apps.apple.com/ro/app/1662088031?l=ro&see-all=customers-also-bought-apps&platform=iphone). Acestea aplică o mască tridimensională cu Grila Fi sau Spirala de Aur direct pe ecran în timp ce faci poza. [4, 5] 
   2. Pentru Android și ambele platforme: Descarcă aplicația gratuită de editare Adobe Lightroom Mobile.
   * Deschide camera integrată din interiorul Lightroom.
      * Apasă pe cele trei puncte din colțul ecranului, selectează pictograma cu grila și alege Grila Fi sau Golden Ratio. [6, 7, 8] 
   
## Opțiunea B: Improvizație folosind grila standard a telefonului
Dacă nu vrei să descarci nicio aplicație, poți activa grila clasică din setări:

* iPhone: Mergi în Setări ➔ Cameră ➔ bifează Grilă.
* Samsung/Android: Deschide Camera ➔ apasă pe rotița de Setări ➔ activează Linii ghid / Grilă (3x3). [3, 9, 10] 

Cum o folosești ca o Grilă Fi?
În loc să plasezi subiectul exact pe liniile exterioare ale grilei (ca la regula treimilor), adu subiectul mai aproape de centrul fotografiei, ghidându-te după ochi. Grila Fi strânge liniile de intersecție mai aproape de mijloc, lăsând un spațiu mai generos și natural pe margini pentru peisaje sau portrete. [1] 
------------------------------
## Partea 2: Proporția de Aur în logo-urile moderne
În lumea brandingului de top, există o dezbatere aprinsă între intenția matematică pură și miturile create ulterior de fani (post-raționalizare). Iată cum stau lucrurile în realitate pentru cele mai faimoase exemple: [11] 
## 1. Logo-ul Apple: Geniu geometric sau mit urban?

* Mitul: Pe internet circulă sute de schițe care arată cum logo-ul Apple se potrivește perfect cu cercuri ale căror diametre respectă șirul lui Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13). Se spune că frunza, mușcătura și curburile mărului sunt perfect proporționale cu numărul de aur. [11] 
* Realitatea: Designerul care a creat logo-ul în 1977, Rob Janoff, a demontat personal acest mit. El a recunoscut că a desenat logo-ul complet liber, cu mâna, pe hârtie, folosind doar decupaje de linii pentru a vedea cum arată bine vizual. Mușcătura a fost adăugată pur și simplu pentru ca mărul să nu fie confundat cu o cireașă sau o tomată. [11] 
* De ce se potrivește totuși? Ochii umani antrenați ai designerilor aleg instinctiv forme armonioase. Matematicienii au suprapus ulterior cercurile Fibonacci peste design, forțând liniile să se potrivească (un fenomen numit post-raționalizare). [11] 

## 2. Logo-ul Pepsi: Geometrie simbolică extremă
Spre deosebire de Apple, în cazul companiei Pepsi, utilizarea geometriei matematice a fost complet intenționată, dar s-a transformat într-o bizarerie de marketing.

* În anul 2008, agenția Arnell Group a redesenat logo-ul Pepsi (sfera cu valul alb) și a trimis companiei un document intern secret de 27 de pagini numit „BREATHTAKING Design Strategy”.
* În acest document, designerii au demonstrat că au aplicat Proporția de Aur pentru a stabili diametrul cercurilor și unghiul exact al curbei albe.
* Totuși, ei au dus matematica la un nivel exagerat, susținând în schițe că logo-ul Pepsi respectă și dinamica maselor de aer ale Pământului, teoria relativității a lui Einstein și câmpul magnetic al universului. Deși a fost intens ironizat în industrie, logo-ul a fost construit riguros pe baza lui φ.

## Alte logo-uri care folosesc intenționat Proporția de Aur:

* Twitter (Fostul logo cu pasăre): A fost construit exclusiv din cercuri perfecte suprapuse, ale căror raze se aflau în raportul de 1:1,618. Geometria curbelor oferea păsării un echilibru vizual impecabil.
* National Geographic: Logo-ul este un simplu dreptunghi galben. Dimensiunile laturilor sale (lungime vs. lățime) respectă cu strictețe raportul Dreptunghiului de Aur, fiind probabil cel mai curat exemplu din lume.
* Google (Litera „G”): Logo-ul Google folosește cercuri concentrice distorsionate geometric pentru a păstra echilibrul optic, integrând elemente de proporție pentru ca formele să pară drepte și clare pe ecrane mici.

Pe care dintre aceste tehnici de design vrei să o analizăm mai de aproape?
Arată-mi cum se desenează un logo simplu folosind cercurile FibonacciCe alte secrete conținea documentul de rebranding de la Pepsi?

[1] [https://www.dpreview.com](https://www.dpreview.com/forums/threads/the-phi-grid-vs-rule-of-thirds-which-do-use-and-when.4814327/)
[2] [https://www.youtube.com](https://www.youtube.com/watch?v=vSlpRwtl3X0)
[3] [https://www.instagram.com](https://www.instagram.com/reel/DQm1XiIEtpb/)
[4] [https://apps.apple.com](https://apps.apple.com/ro/app/golden-ratio-photo-camera/id1053897315?l=ro)
[5] [https://apps.apple.com](https://apps.apple.com/ro/app/1662088031?l=ro&see-all=customers-also-bought-apps&platform=iphone)
[6] [https://www.youtube.com](https://www.youtube.com/watch?v=-QevEuDDR1A)
[7] [https://helpx.adobe.com](https://helpx.adobe.com/uk/lightroom-cc/using/capture-photos-mobile-android.html)
[8] [https://helpx.adobe.com](https://helpx.adobe.com/ie/lightroom-cc/using/capture-photos-mobile-ios.html)
[9] [https://www.youtube.com](https://www.youtube.com/watch?v=ZQjiS5KCDCI)
[10] [https://support.apple.com](https://support.apple.com/en-sg/guide/iphone/iph3dc593597/ios)
[11] [https://www.quora.com](https://www.quora.com/Does-the-Apple-logo-really-adhere-to-the-golden-ratio)