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# 動的問題(有限要素法)
- 運動方程式が今まではKu=Fであったが質量と減衰が追加された。
- クリープなどにはKの中に材料の時間現象が入る場合がある。これを準静的解析(Quasi Static)と呼ぶ。
- 今回は慣性力M*aが入った場合を考える。
- 線形を仮定することによりモード重ね合わせ法により解くことが多いが非線形解析は行えない。
- 非線形解析を扱うために直接積分法を行う。

# 基礎用語: 1自由度系の振動モデル
- c=f=0 すなわち 自由振動の場合を考える。すると2階の常微分方程式となり、cosの解が得られる。自由振動であるため、そのままの振幅で振動を続ける。
- 1からはじまって次の1になるまでの時間が周期Tである。
- omega(=dl/dtheta)が角速度、角振動数と呼ばれるものである。単位は(rad/sec)である。

# 時間積分の近似手法 (陰解法)
- 未知量は変位・速度・加速度である。

# 線形加速度法
- 説明のためだけにある。使用されているプログラムでこの方法を使用しているものはない。
- dtの区間で加速度の変化が線形であると仮定する。
- 加速度を積分すれば速度になる。2次方程式になる。
- 速度を積分すれば変位が得られる。3次方程式になる。

# Newmark-β法
- 線形加速度法はある一定の条件でしか成り立たない。そのため、係数を拡張した。
- 線形加速度はdt_cr(critical 臨界計算時間刻み) <= 2\sqrt(3)/omega = \sqrt(3)/pi*T である必要がある。これを条件付安定(conditinal stable)と呼ぶ。
- 定加速度法は無条件安定(unconditional stable)である。
- u_{n+1}がdt秒後の未知変位である。

# Houbolt法
- Houbolt法は計算しているのが高周波の場合減衰をする。接触の動的問題で振動をしているとき、Houbolt法を使用すると収まる。

# HHT法(Hiber-Hughes-Taylor Method)
- メジャーな手法でありAbaqusはこれを使用している。
- a( = -0.05)の値により高周波での若干の数値減衰を発生させることができる。
- a = -0.05 で10%の減衰 a = -0.41421 で30%の減衰となる。

# 陽解法
- 陽解法では減衰を考えずに解くべきマトリックスをMのみにする。例えば[C] = a[M]とする。[M]を集中マトリックスとすれば逆行列の計算が必要なくなる。
- ただし、中央差分は条件付き安定となる。Tminは最低周期である。つまり最高周波数。
- 条件と等価条件がクーラン(Courant)条件である。lは代表(最小)要素長さであり、v(=sqrt(E/rho))は弾性波(音速)である。
- dtはx.x10^(-6)~(-13)くらいのイメージである。
- 短時間の衝突現象などの解析をするために広く使われている。
- 陽解法の右辺にはn+1の項がない。つまりnまでの情報でn+1の情報を予測している。

# 陽解法の指導原理
- 短い現象であれば陽解法が成り立つ。

# 時間積分の安定性
- Xn+1 = AXn のAは積分近似作用素である。
- lambdaiはAの固有値である。

# スペクトル半径
- 小 <- 計算の時間刻み -> 大
- 長 <- 周期 -> 短
- 低 <- 周波数 -> 高
- rho(A)が1より大きいと発散、1より小さいと減衰となる。

# 例題: 円筒ビームの衝突解析
- 準静的解析が多いが動的解析を使用する。
- 陽解法の場合押し込み速度をどのように見積もるか。
- まずはBEAM材の固有モードを見る。

# 解析結果
- 押し込みを行った解析結果
- 陽解法は4秒、陰解法は149秒解析時間が必要である。

# 速度履歴
- 3800回計算をしているうちの200回程を出力した。回数が多いため陰解法は時間がかかっている。

# 質量マトリックス
- 質量マトリックスは質量密度の前後に形状関数をかけて求めている。
- 分布質量マトリックス consistent mass matrix が求められる。
- 分布質量を対角項に集中させたものが集中質量マトリックス

# 減衰マトリックス 粘性、減衰定数
- レーリー減衰(Rayleigh) alpha*M+beta*K とする。alphaとbetaが物性のパラメータとなる。
- omegaは角速度,zetaは減衰比である。
- zeta = alpha/(2*omega)+(beta*omega)/2
- alpha/(2*omega)と(beta*omega)/2を独立して描きそれを重ね合わせるとzetaのグラフが得られる。
- omega1とomega2でzeta1とzeta2(=zeta1)を設定しalphaとbetaを計算する。

# 例題：1自由度の減衰振動

# 対数減衰率
- 1周期後の応答を計算することにより減衰率を計算することができる。

# 例題：1自由度の減衰振動
- ALPHAとBETAを入力している。動的解析を行っている。DYNAMICのALPHA=0.0としてNewmark-beta法を使用している。

# 動的陽解法におけるゴム材料の注意点
- ゴム材料は非圧縮であるが、体積波で考えたとき速度はv = \sqrt(K/rho) = \sqrt(oo/rho) = 無限大 ゆえに、dt < l/v とするとdtが0となってしまう。
- ゆえにAbaqusなどではポアソン比を0.475などとしている。

# ゴムボールの落下解析
- 時間刻みがanalysis time stepが大きいほどIncrementが小さくなる。

# 熱伝導解析 熱輸送の様式
- q = -k*(T2-T1)/L 熱の勾配 応力解析の場合は sigma = E*(U2-U1)/L = E*\epsilon
- 対流熱伝達 q = h*(Ts-Too) Ts: 表面温度 Too: 雰囲気温度
- ふく射伝熱: 電磁波で熱が伝わる。4乗の差であるため必ず絶対温度を使用する。

# 熱伝導方程式
- rho 質量密度 c 比熱 が質量に該当する。k 熱伝導率がヤング率に相当する。
- [M]d{T}/dt = [K]{T} + {Q} [M]は熱容量マトリックス [K]は熱伝導マトリックス {T}は節点温度未知数 {Q}は熱荷重。これは非定常問題である。

# 境界条件
- 第1種境界条件 変位拘束(強制変位)
- 第2種境界条件 分布荷重
- 第3種境界条件 応力解析には該当するものはない。
- 接触面の温度と熱流速が規定される境界条件

# クランク・ニコルソン法
- dT/dt = (T^{n+1}_{i}-T^{n}_{i})/dt = ...
- t = 0: 陰解法と t=0.5 クランク・ニコルソン法は無条件安定
- ひずみは変位の勾配である。

# 単位系
- 熱と応力の共通の物理量はエネルギー

# 温度依存の熱伝導率 (非線形問題)
- 材料が温度依存しないと仮定すると0度と100度の中間は50度となる。
- しかしq1 = k(T)*dT/dxのkがTに依存する場合もある。
- q1 = q2となる条件をもとに中央の点の温度を計算することができる。

- 検算     R = q2 - q1 = 125 - 75 = 50        : 残差熱流束
- 再度検算 R = q2 - q1 = 135.94 - 101.56 = 34 : 残差熱流束
- イテレーションで残差を収束させていく。
- 中央の点の温度を50と仮定して、収束計算する。と差は12.5となる。仮定を設けてイテレーションの回数を減らす方法もある。

# 問6-1
(3)

# 問6-2
(4)

# 問6-3
(1)

# 問6-4
(2)

# 問6-5
(3) => 線形加速法は条件安定であるため。陰解法=無条件安定ではない。 

# 問6-6
マルチタイムステップ(サブサイクリング) (選択的マススケーリング?)

# 問6-7
(1) dtE=l/\sqrt(E/\rho) dtP=l/\sqrt(H/rho) であるため、塑性した部分の時間増分を使用すると問題が発生する。
(2) 金属材料以外 => ゴムなど。Es(微小領域のヤング率) El(大ひずみのヤング率)とすると dts=l\sqrt(\rho/Es) dtl=l\sqrt(\rho/El)
    Es < El であるため、dts > dtlとなる。 => 正解 ただし、今のソフトは自動で修正をしてくれる。
(3) クーラン条件
(4) 逆である。マススケーリングとは t < l\sqrt(\rho/E) の式でrhoを大きくすることである。

# 問6-8
(1) 積分点がそもそも8と1であるため1/10にはならない。
(3) => 正解
(4) 結果を信用してはいけない。

# 問6-9
(1)(2) 衝突のときはじめは全て運動エネルギーだが、衝突とともにひずみエネルギーに変換される。衝突のときの接触エネルギーは摩擦ではない。
(3) ペナルティー法だと貫通分を表面に戻す必要がある。 => 正解
(4) アワグラスエネルギーではなくひずみエネルギーである。
人工エネルギーにはアワグラスエネルギーも含まれる。

# 問6-10
(2)

# 問6-11
P波は縦波(体積変化)が伝わり、S波は横波(ひずみ変化)が伝わる波である。

# 問6-13
(3)

# 問6-14
(3)

# 問6-15
(1) ア sqrt(k/m)
    ィ rad/sec
(2) 結果参照

# 問7-1
(3) => クランク・ニコルソン法は無条件安定である。

# 問7-2
A (Tf-T)
B 熱伝達率
C 温度 => q = h(T)*(Tf-T)

# 問7-3
(ア) (3)
(ィ) (1)
(ゥ) (4)
(エ) (2)

# 問7-4
(A) 輻射
(B) 対流(熱伝達)
q = k dT/dx = k T1-T2/L = \epsilon sigma (T1^{4}+T2^{4}) + H (T1-T2)

# 問7-5
(4) ただし、連成は「双方向連成」という用語がより適切である。

# 問7-6
温度に依存せず一定値を取る場合   (B)
熱伝導率が温度と共に上昇する場合 (A) フーリエの法則を使用する。qH = k(H)*dT/dx , qL = k(L)*dT/dx
k(H) 大 で k(L) 小 ただし、qH=qLでなければならない。

# 問7-7
(1) (C)
(2) 問7-6と同じ考え方をする。